碳排放权交易和碳税被实践证明是降低二氧化碳排放的有效政策工具(陈诗一(2011)), 科学评估二氧化碳边际减排成本能够为完善碳排放权交易机制及设定合理的碳税水平提供理论依据(蒋伟杰和张少华(2018)). 文献中常用的二氧化碳边际减排成本测度方法大致归为三类: 工程经济模型、宏观经济模型和基于距离函数的影子价格模型(周鹏等(2014)). 其中, 基于距离函数的影子价格模型是以生产理论为基础, 在一个考虑二氧化碳排放的多投入多产出环境生产技术框架下, 基于线性规划中的对偶理论和投入、期望产出的市场价格信息来估计二氧化碳影子价格. 二氧化碳影子价格模型具有适用范围广、数据需求量适中等优点, 目前已经成为估算二氧化碳边际减排成本的重要工具.

近年来国内外学者开展了大量二氧化碳影子价格建模及应用研究. 根据是否需要预先设定距离函数的显函数形式, 二氧化碳影子价格估计模型可以被划分为非参数影子价格方法和参数化影子价格方法(Zhou et al. (2014)). 非参数影子价格方法主要指数据包络分析(data envelopment analysis, DEA). DEA是一种数据驱动的分段线性规划方法, 不需要提前设定生产函数的显函数形式, 对数据信息需求相对较低. 但其存在以下不足: 1) DEA方法利用分段线性函数去拟合生产技术前沿, 不能保证生产函数处处可导, 进而导致部分观测点的边际减排成本可能不唯一(Färe et al. (2005)). 2) 由于DEA方法是数据驱动的模型, 人为假定最外围的观测点构成生产技术前沿面, 导致影子价格估计结果对离群点(异常值) 较为敏感, 易受统计误差和极端值的影响(Vardanyan and Noh (2006), Liu and Feng (2018)). 参数化影子价格估计方法需要预先设定生产函数的显函数形式, 根据生产函数参数的估计方法差异, 又可进一步划分为参数化线性规划方法(parameterized linear programming, PLP)和随机前沿分析方法(stochastic frontier analysis, SFA). SFA方法考虑了随机误差等不可观测变量的影响, 因能克服异常值和统计噪音的影响而具有相对较高的稳健性. 但应用SFA方法估算二氧化碳影子价格时对样本数据量需求较大, 且不能灵活对距离函数施加单调性约束(Du et al. (2016)), 导致在部分观测点违背基本的投入、产出的单调性假设(Kumar and Managi (2009)).

由于PLP方法具有灵活简便的特点, 其在应用研究中获得了较为广泛的应用. Aigner and Chu (1968)提出的确定性PLP方法是最基本的影子价格估计模型. 在此基础上, Färe et al. (1993)开创性地通过参数产出距离函数(ODF)构建了非期望产出(污染物)影子价格分析框架. 借鉴Färe et al. (1993)的研究思路, Hailu and Veeman (2000)采用参数投入距离函数(IDF)估计了污染物影子价格. 投入和产出距离函数都属于径向的谢泼德距离函数(Shephard (1970)), 其假定投入、期望和非期望产出同方向、同比例变动在技术上才是可行的, 适用于缺乏环境规制或弱环境规制的情景. 而径向的方向距离函数(DDF)对不同种类产出加以区分, 能够实现在期望产出增加同时非期望产出反而下降(Chung et al. (1997)). 方向距离函数的内在经济含义符合当前我国政府控制和减少二氧化碳的政策偏好. Färe et al.(2005, 2006)将参数化污染物影子价格分析框架拓展到更具灵活性方向距离函数. 此后, 以Färe为主导的这些影响深远的学术成果逐渐成为被广泛采纳的二氧化碳影子价格研究范式.

尽管Färe参数化影子价格分析框架获得了广泛的应用, 但学者们在估计二氧化碳边际减排成本时所采用的具体模型存在差异, 且主要围绕环境生产技术和距离函数估计两个方面对Färe影子价格模型进行改进. 例如, Marklund and Samakovlis (2007)在估计方向距离函数的参数时引入零结合性约束来增强生产函数的拟合优度; Du et al. (2016)较早地利用共同前沿方法来解决生产技术异质性问题. 为了克服随机噪音对生产技术前沿的影响, 蒋伟杰和张少华(2018)利用拔靴法(bootstrap method)构建二氧化碳影子价格的稳健估算模型. Ji and Zhou (2020)基于零结合性特征, 提出了新的拟合优度准则对不同模型进行比较. 以往的研究由于缺乏统一分析框架, 在具体模型构建上存在较大差异, 导致二氧化碳影子价格估计结果存在显著差异, 削弱了二氧化碳影子价格估计的科学性和有效性, 在实践中可能会形成误导性的结论与建议. 与此同时, 尽管Zhou et al. (2014), Ma et al. (2019)对非期望产出影子价格或边际减排成本研究做了较为系统的综述, 并指出当前研究面临的各种问题, 但目前仍缺乏聚焦于参数化影子价格方法的系统性研究, 且未对传统的Färe参数化二氧化碳影子价格分析框架进行整合和更新. 基于此, 本文重点考虑了异质性生产技术、异质性技术进步和异质性减排策略等关键问题对影子价格估计结果的影响, 给出了一个统一的参数化二氧化碳影子价格分析框架. 该统一框架旨在为二氧化碳减排成本研究提供一个更加科学合理的研究范式, 增强碳减排成本应用研究的可比性和延续性.

本文余下部分的结构安排如下: 第2部分阐释二氧化碳影子价格的内涵与特征; 第3部分梳理我国二氧化碳影子价格的相关研究, 厘清二氧化碳影子价格结果差异背后的原因; 第4部分提出一个统一的参数化二氧化碳影子价格分析框架; 第5部分为结论与展望.

影子价格最早由荷兰经济学家Tinbergen (1972)提出, 将影子价格定义为在均衡价格的意义上表示生产要素或产品内在的价格. 当某种资源处于最佳分配状态时, 其边际产出价值即为该资源的影子价格. 影子价格能够反映资源稀缺程度, 即使资源得到合理配置时资源消耗产生的边际产品价值或边际成本价格.

二氧化碳排放作为一种非期望产出, 其对企业利润的贡献是非正的, 因为控制或减少二氧化碳排放往往伴随经济利益的损失. 据此, 本文定义二氧化碳的影子价格为在给定碳排放水平和生产技术条件下, 技术效率最优时每减少一单位二氧化碳排放所导致期望产出减少值或投入要素增加值. 其反映了环境生产技术前沿上, 投入、期望产出与二氧化碳之间的替代关系. 通常, 二氧化碳的影子价格越高, 表明碳边际减排成本越高, 减碳则越困难, 碳减排潜力也相应越低. 从产出视角来看, 二氧化碳影子价格是指减少一单位二氧化碳排放所导致的期望产出损失的机会成本, 这体现了一种生产规模缩减的消极减排策略. 当面对严格的碳规制约束时, 部分钢铁厂、水泥厂可能采取限电限产方式实现短期内迅速减碳. 从投入视角看, 二氧化碳影子价格是指减少一单位二氧化碳排放所增加的非能源投入要素(如劳动力、资本)的成本, 这实际上体现了通过碳捕集与封存技术、新能源技术、能源效率提升技术等手段实现碳减排的积极减排策略.

二氧化碳影子价格反映了生产者减少碳排放需要付出的经济代价, 具有以下特征:

P1. 二氧化碳影子价格是一种非市场价格. 二氧化碳影子价格是根据生产过程中二氧化碳对投入、期望产出的边际影响进行估价.

P2. 二氧化碳影子价格是一种内生价格. 影子价格可以看作是企业对生产要素的内部定价(吴汉洪(2007)), 它是生产者对二氧化碳要素选择的结果, 由投入、期望产出和二氧化碳之间的相互作用关系决定.

P3. 二氧化碳影子价格是一种边际价格, 其反映了减少一单位二氧化碳排放时引起投入成本增加或者期望产出减少值.

P4. 二氧化碳影子价格是一种动态价格. 二氧化碳影子价格具有一定波动性, 受研究期间选择、生产者技术特征、碳排放演化阶段等影响而具有波动性.

P5. 二氧化碳影子价格是一种机会成本(Färe et al. (2006), Zhou et al. (2014)). 二氧化碳影子价格表现为减少碳排放需要将部分生产性投入要素转用于节能减排, 放弃用于生产期望产出的机会而损失的最大收益.

P6. 二氧化碳影子价格能够反映碳排放空间的稀缺性. 二氧化碳影子价格越高, 反映企业碳减排成本和潜力越少, 碳排放空间将越稀缺.

目前学术界对二氧化碳影子价格测度采用不同PLP模型, 导致我国二氧化碳影子价格估计结果存在较大差异. 表 1依照距离函数种类、研究尺度、时间、碳价, 比较了我国二氧化碳影子价格估计结果, 发现不同学者测算的中国二氧化碳影子价格结果相差较大, 波动范围从几十元到几万元/吨, 同时发现理论价格与实际价格也存在较大差异, 难以为决策部门提供有针对性的减排成本信息.

为了厘清二氧化碳影子价格测度结果差异背后的原因, 表 2依照研究类型、距离函数种类、模型改进视角以及二氧化碳与其他污染物间的协同效应, 归纳总结了基于Färe参数化影子价格建模及应用研究. 本文推断我国二氧化碳影子价格估计结果差异可能主要源自: 是否考虑二氧化碳与其他污染物间的协同效应、生产技术差异、距离函数的显函数选择差异以及对距离函数施加约束条件的差异. 具体来看, 大部分研究在估计二氧化碳影子价格时仅考虑唯一的二氧化碳排放, 忽视了二氧化碳与其他污染物间的协同减排效应(Ma et al. (2019)), 相关文献包括但不限于Wang et al. (2018), 蒋伟杰和张少华(2018). 生产技术的差异主要体现在是否考虑异质性生产技术(heterogeneous production technology, HPT), 其中Du et al. (2016)利用共同前沿方法构建参数化异质性环境生产技术测度碳排放减排成本. 从距离函数来看, 对于选用超越对数生产函数估计谢泼德距离函数以及采用二次生产函数估计方向距离函数的处置方法被广泛采纳, 然而在是否包含时间趋势变量(Matsushita and Yamane (2012)) 或时间虚拟变量方面未达成一致, 甚至同一学者在不同研究中选取不同的时间变量. 同时本文发现少数研究中, 如Hailu and Veeman (2000), Zhang et al. (2014), Ma and Hailu (2016), 在参数距离函数中引入时间趋势变量, 但未深入挖掘其内在经济含义. 借鉴计量经济学理论, 时间趋势变量通常代表了社会中发生的技术进步, 其与不同生产要素结合可以反映异质性技术进步(heterogeneous technological progress, HTP). 距离函数被施加的约束条件方面, 尤其在方向距离函数中, 是否施加投入单调性约束和零结合性约束存在较大分歧, 这可能导致影子价格测度差异. 大部分研究考虑了投入单调性约束, 只有少部分研究如Ji and Zhou (2020)放松投入单调性假设; 与此同时大部分研究未考虑零结合性约束, 仅少部分研究, 如Marklund and Samakovlis (2007), 对距离函数施加零结合性约束, 以满足期望产出必须伴随二氧化碳的生产特征.

此外, Färe参数化二氧化碳影子价格分析框架中影子价格推导仅考虑了唯一的生产规模缩减的减排策略(Kuosmanen and Zhou (2021)), 忽视了其他异质性减排策略(heterogeneous emission abatement strategy, HTP), 如投入要素替代、碳捕集与封存技术和过程减排技术等, 可能导致高估二氧化碳影子价格. 总之, 众多国内外学者基于Färe参数化影子价格分析框架测度了我国二氧化碳边际减排成本, 在方法和应用上均取得了丰硕的研究成果. 但是, 不同学者在是否考虑协同效应、生产技术构建、距离函数的显函数选择以及对距离函数施加约束条件、影子价格推导等方面存在诸多分歧, 从而造成以往影子价格测度结果相差较大, 致使研究结果缺乏可比性, 削弱了二氧化碳影子价格估计的科学性和有效性, 同时弱化了碳减排成本研究的可延续性.

Färe参数化二氧化碳影子价格分析框架的核心内容包括环境生产技术构建和影子价格推导. 距离函数则是刻画和估计环境生产技术的核心方法工具(周鹏等(2020, 2021)), 距离函数估计主要涉及距离函数种类及对应显函数的选择. 影子价格推导指利用距离函数与成本、收益或利润函数之间的对偶关系来测度二氧化碳影子价格. 不同于Färe参数化二氧化碳影子价格分析框架, 本文提出的统一框架同时考虑了异质性生产技术、异质性技术进步和异质性减排策略对影子价格估计的影响(如图 1), 以期对现有二氧化碳影子价格估计方法体系做出有益的补充. 具体来看, 首先, 统一框架考虑了生产技术异质性特征, 通过共同前沿方法构建了异质性环境生产技术; 其次, 在设定距离函数来估计环境生产技术时, 统一框架在距离函数的显函数中引入时间趋势项来识别异质性技术进步; 再次, 在估计距离函数参数时, 新增零结合性约束来提高生产函数的拟合优度. 最后, 在影子价格推导时纳入异质性减排策略, 即生产规模缩减策略和投入要素替代策略, 理论上可以得到更加贴近实际价格的二氧化碳影子价格.

刻画和估计环境生产技术是构建参数化二氧化碳影子价格统一框架的重要基础. 在生产理论中常采用生产可能集来表征投入与产出要素间的生产联系(Wu et al. (2020)). 传统的生产可能集不包含二氧化碳等非期望产出, 为了将二氧化碳的负外部性纳入传统的生产理论中, 本文定义环境投入需求集、环境产出可能集和环境生产技术集来刻画投入要素、期望产出和非期望产出间的生产联系.

假定每个决策单元(decision making unit, DMU)使用投入向量, 记为$ {{x}} = ({x_1}, {x_2}, \cdots, {x_M}) \in {{R}}_ + ^M $, 生产得到期望产出向量, 记为$ {{y}} = ({y_1}, {y_2}, \cdots, {y_N}) \in {{R}}_ + ^N $和非期望产出向量, 记为$ {{b}} = ({b_1}, {b_2}, \cdots, {b_J}) \in {{R}}_ + ^J $, 其中$ {b_1} $为二氧化碳, $ {b_2}, \cdots, {b_J} $为其他污染物. 非期望产出包含二氧化碳之外的其他污染物, 用以反映二氧化碳与其他污染物的协同效应. 首先假设这些DMUs的生产技术具有良好的同质性, 则利用环境生产技术集表征同质性环境生产技术$ {{{T}}^h} $为:

(1) $ \begin{equation} {{{T}}^{h}} =\left\{{ \left({{{x}}, {{y}}, {{b}}} \right){\kern 1pt} :{{x}}\;{\rm{can\; produce}}\;\left({{{y}}, {{b}}} \right)} \right\}. \end{equation} $

此外, 同质性环境投入需求集$ {{{L}}^{h}}({{y}}, {{b}}) $描述生产给定期望与非期望产出的投入集合, 被定义为下述集合:

(2) $ \begin{equation} {{{L}}^{h}}({{y}}, {{b}}) = \left\{ { {{x}}:{{x}}\;{\rm{can\; produce}}\;\left({{{y}}, {{b}}} \right)} \right\} = \{ {{x}}:\left({{{x}}, {{y}}, {{b}}} \right){\kern 1pt} \in {{{T}}^{h}}\}. \end{equation} $

类似地, 同质性环境产出集$ {{{P}}^{{h}}}({{x}}) $描述给定的投入要素下可以生产的产出集合, 被定义为下述集合:

(3) $ \begin{equation} {{{P}}^{h}}({{x}}) = \left\{ { \left({{{y}}, {{b}}} \right):{{x}}\;{\rm{can\; produce}}\;\left({{{y}}, {{b}}} \right)} \right\} = \{ \left({{{y}}, {{b}}} \right):\left({{{x}}, {{y}}, {{b}}} \right){\kern 1pt} \in {{{T}}^{h}}\}. \end{equation} $

现实中决策单元可能由于地理位置、资源禀赋、产业结构和经济发展水平而具有较高的生产技术异质性. 由Hayami (1969)提出的共同前沿技术能够较好地解决生产技术异质性问题, 其基本思想是基于生产技术的异质性来源, 选取科学的特征变量将决策单元划分为不同组群, 各个组群形成各自的生产技术前沿, 称为组群前沿环境生产技术, 由所有组群前沿的包络曲线构成共同的生产技术前沿, 称为共同前沿环境生产技术, 图 2描绘了异质性环境生产技术.

本文定义共同前沿环境生产技术下环境生产技术集、环境投入需求集与环境产出可能集分别为:

(4) $ \begin{eqnarray} &&{{{T}}^{{\rm{meta}}}} = \left\{ { \left({{{x}}, {{y}}, {{b}}} \right){\kern 1pt} {\kern 1pt} :{\kern 1pt} {\kern 1pt} {{x}}\;{\rm{can\; produce}}\;\left({{{y}}, {{b}}} \right)} \right\}, \end{eqnarray} $

(5) $ \begin{eqnarray} && {{{L}}^{{\rm{meta}}}}({{y}}, {{b}}) = \left\{ { {{x}}:{{x}}\;{\rm{can\; produce}}\;\left({{{y}}, {{b}}} \right)} \right\} = \{ {{x}}:\left({{{x}}, {{y}}, {{b}}} \right){\kern 1pt} \in {{{T}}^{{\rm{meta}}}}\}, \end{eqnarray} $

(6) $ \begin{eqnarray} && {{{P}}^{{\rm{meta}}}}({{x}}) = \left\{ { \left({{{y}}, {{b}}} \right):{{x}}\;{\rm{can\; produce}}\;\left({{{y}}, {{b}}} \right)} \right\} = \{ \left({{{y}}, {{b}}} \right):\left({{{x}}, {{y}}, {{b}}} \right){\kern 1pt} \in {{{T}}^{{\rm{meta}}}}\}. \end{eqnarray} $

共同前沿环境生产技术是所有DMUs在长期能够通过技术效率改善所达到的最优生产技术前沿, 相较于组群环境生产技术DMUs能够以更低的投入生产更多的期望产出. 假定DMUs可以被划分为$ k $个组群($ k \ge 1 $), 每个组群间具有显著的生产技术差异, 分别定义组群前沿环境生产技术的环境生产技术集、环境投入需求集与环境产出可能集为:

(7) $ \begin{eqnarray} &&{{T}}_{^{k}}^{{\rm{group}}} = \left\{ { \left({{{x}}, {{y}}, {{b}}} \right){\kern 1pt} :\;{{x}}\;{\rm{can \;produce}}\;\left({{{y}}, {{b}}} \right){\rm in\;{\rm{the}}\;group}\;k} \right\}, \end{eqnarray} $

(8) $ \begin{eqnarray} && {{L}}_{^{k}}^{{\rm{group}}}({{y}}, {{b}}) = \left\{ {{{x}}{\kern 1pt} :\;{{x}}\;{\rm{can\; produce}}\;\left({{{y}}, {{b}}} \right){\rm in\;{\rm{the}}\;group}\;k} \right\}, \end{eqnarray} $

(9) $ \begin{eqnarray} &&{{P}}_{^{k}}^{{\rm{group}}}({{x}}) = \left\{ {({{y}}, {{b}}){\kern 1pt} :\;{{x}}\;{\rm{can\; produce}}\;\left({{{y}}, {{b}}} \right){\rm in\;{\rm{the}}\;group}\;k} \right\}. \end{eqnarray} $

同质性环境生产技术($ k = 1 $) 是异质性环境生产技术的特例, 当所有DMUs具有良好的同质性, 即不存在显著的生产技术差异时, 异质性环境生产技术才退化为同质性环境生产技术.

基于新古典生产经济学, 同质性和异质性环境生产技术($ T $)需要满足一系列生产行为特征(Shephard (1970), 周鹏等(2020)), 据此建立下述基本理论假设:

假设A1  无为: $ ({{x}}, {{0}}, {{0}}) \in {{T}} $. 消耗一定的投入而不生产任何产出在技术上是可行的.

假设A2  没有免费的午餐: 若$ ({{y}}, {{b}}) \ge ({{0}}, {{0}}) $, $ ({{0}}, {{y}}, {{b}}) \notin {{T}} $. 不投入生产要素, 却要产生期望产出在技术上是不可行的.

假设A3  凸性: 若$ ({{{x}}, \;{{y}}, \;{{b}}}) \in {{T}}{\kern 1pt} \;{\rm{}}\ ({{{\tilde x}}, \;{{\tilde y}}, \;{{\tilde b}}}) \in {{T}} $, 则$ [ {\mu ({{{x}}, \;{{y}}, \;{{b}}}) + ({1{\rm{ - }}\mu })({{{\tilde x}}, \;{{\tilde y}}, \;{{\tilde b}}})} ] \in {{T}} $, $ \mu \in ({0, 1}) $.

假设A4  锥性: $ \forall ({{{x}}, \;{{y}}, \;{{b}}}) \in {{T}} $, 则$ \mu ({{{x}}, \;{{y}}, \;{{b}}}) = ({\mu {{x}}, \;\mu {{y}}, \;\mu {{b}}}) \in {{T}} $. 如果以$ \mu $倍投入作为新的投入, 则得到$ \mu $倍产出在技术上是可行的.

假设A5  封闭性: 环境生产技术$ {T} $是闭集, 其边界仍然是集合的一部分.

假设A6  有界性: 环境生产技术$ {T} $是有界的.

假设A7  投入强可处置性: 若$ \left({{{x}}, \;{{y}}, \;{{b}}} \right) \in {{T}} $且$ {{\tilde x}} \ge {{x}} $, 则$ \left({{{\tilde x}}, \;{{y}}, \;{{b}}} \right) \in {{T}} $. 在给定产出水平下, 额外增加投入生产既定产出在技术上是可行的.

假设A8  期望产出强可处置性: 若$ \left({{{x}}, \;{{y}}, \;{{b}}} \right) \in {{T}} $且$ {{\tilde y}} \le {{y}} $, 则$ \left({{{x}}, \;{{\tilde y}}, \;{{b}}} \right) \in {{T}} $. 在给定投入水平下, 生产更少的期望产出在技术上是可行的.

假设A9  期望和非期望产出联合弱可处置性: 如果$ \left({{{x}}, {{y}}, {{b}}} \right) \in {{T}} $且$ {\rm{0}} \le {\rm{ \mathsf{ θ} }} \le {\rm{1}} $, 则$ \left({{{x}}, {{\theta y}}, {{\theta b}}} \right) \in {{T}} $. 该假设表明减少非期望产出必须同时减少期望产出, 不能单独减少非期望产出.

假设A10  零结合性: 若$ \left({{{x}}, {{y}}, {{b}}} \right) \in {{T}} $且$ {{b}} = {{0}} $, 那么$ {{y}} = {{0}} $. 该假设表明如果不想要生产任何数量的非期望产出, 则必须停止期望产出的生产.

假设A11  最小性: 生产可能集是满足以上十个理论假设的所有集合的交集.

距离函数常被用来表征环境生产技术, 为了准确刻画上述生产行为特征, 谢泼德投入、产出距离函数和方向距离函数需要满足表 3中的基本性质. 目前尚未找到能够同时满足谢泼德距离函数和方向距离函数基本性质的单一生产函数形式(Vardanyan and Noh (2006)). 通常选择选择超越对数生产函数去表征投入和产出距离函数(Pittman (1981)); 考虑到二次函数满足变换性质且二阶可微, 常被选作方向距离函数的显函数(Färe et al. (2005)). 技术进步是减少碳排放的重要手段, 因此不能忽视技术进步对影子价格的影响. 为了识别异质性技术进步对环境生产技术的影响, 本文在传统的超越对数生产函数和二次生产函数中纳入时间趋势项$ t $及其与其他项的交互项来识别异质性技术进步, 丰富了距离函数的经济含义.

投入和产出距离函数选择以下超越对数生产函数形式:

(10) $ \begin{equation} \begin{aligned} \ln D_{i/o}^t({{{x}}^t}, {{{y}}^t}, {{{b}}^t}) =&\; {\alpha _0} + \sum\limits_{m = 1}^M {\alpha _m^x} \ln x_m^t + \sum\limits_{n = 1}^N {\alpha _n^y} \ln {y}_n^t + \sum\limits_{j = 1}^J {\alpha _j^b} \ln {b}_j^t{\rm{ + }}{\alpha ^t}t + \\ & \frac{1}{2}\sum\limits_{m = 1}^M {\sum\limits_{{m_1} = 1}^M {\beta _{m{m_1}}^{xx}} } (\ln x_m^t)(\ln x_{{m_1}}^t) + \frac{1}{2}\sum\limits_{n = 1}^N {\sum\limits_{{n_1} = 1}^N {\beta _{n{n_1}}^{yy}} } (\ln {y}_n^t)(\ln {y}_{{n_1}}^t) + \\& \frac{1}{2}\sum\limits_{j = 1}^J {\sum\limits_{{j_1} = 1}^J {\beta _{j{j_1}}^{bb}} } (\ln {b}_j^t)(\ln {b}_{{j_1}}^t) + \frac{1}{2}{\beta ^{tt}}{t^2} + \sum\limits_{{m} = 1}^M {\sum\limits_{n = 1}^N {\beta _{mn}^{xy}} } (\ln x_m^t)(\ln {y}_n^t) +\\& \sum\limits_{{m} = 1}^M {\sum\limits_{j = 1}^J {\beta _{mj}^{xb}} } (\ln x_m^t)(\ln {b}_j^t)\; + t\sum\limits_{m = 1}^M {\beta _m^{xt}(\ln x_m^t)} + \sum\limits_{n = 1}^N {\sum\limits_{j = 1}^J {\beta _{nj}^{yb}} } (\ln {y}_n^t)(\ln {b}_j^t) + \\& t\sum\limits_{n = 1}^N {\beta _n^{yt}(\ln {y}_n^t)} \; + t\sum\limits_{j = 1}^J {\beta _j^{bt}(\ln {b}_j^t)}, \\ &\beta _{m{m_1}}^{xx} = \beta _{{m_1}m}^{xx}, m \ne {m_1};\beta _{n{n_1}}^{yy} = \beta _{{n_1}n}^{yy}, n \ne {n_1};\beta _{j{j_1}}^{bb} = \beta _{{j_1}j}^{bb}, j \ne {j_1}, \end{aligned} \end{equation} $

其中$ x_m^t $、$ x_{{m_1}}^t $表示第$ m $或$ m_1 $种投入; $ {y}_n^t $、$ {y}_{{n_1}}^t $表示第$ n $或$ n_1 $种期望产出; $ {b}_j^t $、$ {b}_{{j_1}}^t $分别表示第$ j $或$ j_1 $种非期望产出, 其中$ b_1^t $表示二氧化碳. $ {\alpha ^t} $、$ {\beta ^{tt}} $识别中性技术进步, 而$ {\beta _m^{xt}} $、$ {\beta _n^{yt}} $、$ {\beta _j^{bt}} $识别有偏的技术进步.

方向距离函数选择下述二次生产函数形式:

(11) $ \begin{equation} \begin{aligned} \overrightarrow D ({{x}}, {{y}}, {{b}};{{g}}) =&\; {\alpha _0} + \sum\limits_{m = 1}^M {\alpha _m^x} x_m^t + \sum\limits_{n = 1}^N {\alpha _n^y} {y}_n^t + \sum\limits_{j = 1}^J {\alpha _j^b} {b}_j^t + {\alpha ^t}t{\rm{ + }}\\& \frac{1}{2}\sum\limits_{m = 1}^M {\sum\limits_{{m_1} = 1}^M {\beta _{m{m_1}}^{xx}} } x_m^tx_{{m_1}}^t + \frac{1}{2}\sum\limits_{n = 1}^N {\sum\limits_{{n_1} = 1}^N {\beta _{n{n_1}}^{yy}} } {y}_n^t{y}_{{n_1}}^t + \frac{1}{2}\sum\limits_{j = 1}^J {\sum\limits_{{j_1} = 1}^J {\beta _{j{j_1}}^{bb}} } {b}_j^t{b}_{{j_1}}^t{\rm{ + }}\\& \frac{1}{2}{\beta ^{tt}}{t^2} + \sum\limits_{{m} = 1}^M {\sum\limits_{n = 1}^N {\beta _{mn}^{xy}} } x_m^t{y}_n^t + \sum\limits_{{m} = 1}^M {\sum\limits_{j = 1}^J {\beta _{mj}^{xb}} } x_m^t{b}_j^t + t\sum\limits_{m = 1}^M {\beta _m^{xt}x_m^t} {\rm{ + }}\\& \sum\limits_{n = 1}^N {\sum\limits_{j = 1}^J {\beta _{nj}^{yb}} } {y}_n^t{b}_j^t + t\sum\limits_{n = 1}^N {\beta _n^{yt}{y}_n^t} + t\sum\limits_{j = 1}^J {\beta _j^{bt}{b}_j^t}, \\& \beta _{m{m_1}}^{xx} = \beta _{{m_1}m}^{xx}, m \ne {m_1};\beta _{n{n_1}}^{yy} = \beta _{{n_1}n}^{yy}, n \ne {n_1}; \beta _{j{j_1}}^{bb} = \beta _{{j_1}j}^{bb}, j \ne {j_1}, \\ \end{aligned} \end{equation} $

其中$ x_m^t $、$ x_{{m_1}}^t $表示第$ m $或$ m_1 $种投入; $ {y}_n^t $、$ {y}_{{n_1}}^t $表示第$ n $或$ n_1 $种期望产出; $ {b}_j^t $、$ {b}_{{j_1}}^t $分别表示第$ j $或$ j_1 $种非期望产出, 其中$ b_1^t $表示二氧化碳.

在Aigner and Chu (1968)参数化PLP模型基础上, 本文增加零结合性约束条件以期得到拟合优度更高的生产函数. 目标函数旨在搜寻一组参数使得所有观测点到环境生产技术前沿面的距离之和最小; 而约束条件包含技术可行性、零结合性、单调性、变换性和对称性等约束.

1) 投入距离函数的参数估计

基于同质性环境生产技术前沿和组群环境生产技术前沿的投入距离函数的参数可以利用以下线性规划模型来求解:

(12) $ \begin{eqnarray} &&\min \sum\limits_{t = 1}^T \sum\limits_{k = 1}^K {\left[\ln \left(D_i^{h/g}\left({x^{kt}}, {y^{kt}}, {b^{kt}}\right)\right) - {\rm ln}1\right]} \\ {\rm s.t.} &&{\rm (i)}\; \ln \left(D_i^{h/g}\left({x^{kt}}, {y^{kt}}, {b^{kt}}\right)\right) \ge 0, k = 1, 2, \cdots, K, \\ &&{\rm (ii)}\; \ln \left(D_i^{h/g}\left({x^{kt}}, {y^{kt}}, 0\right)\right) < 0, k = 1, 2, \cdots, K, \\ &&{\rm (iii)}\; \frac{{\partial \ln (D_i^{h/g}({x^{kt}}, {y^{kt}}, {b^{kt}}))}}{{\partial \ln x_m^{kt}}} \ge 0, m = 1, 2, \cdots, M, \\ &&{\rm (iv)}\; \frac{{\partial \ln (D_i^{h/g}({x^{kt}}, {y^{kt}}, {b^{kt}}))}}{{\partial \ln y_n^{kt}}} \le 0, n = 1, 2, \cdots, N, \\ &&{\rm (v)}\; \frac{{\partial \ln (D_i^{h/g}({x^{kt}}, {y^{kt}}, {b^{kt}}))}}{{\partial \ln b_j^{kt}}} \ge 0, j = 1, 2, \cdots, J, \\ &&{\rm (vi)}\; \sum\limits_{m = 1}^M {\alpha _m^x = 1} ;\sum\limits_{m = 1}^M {\sum\limits_{{m_1} = 1}^M {\beta _{m{m_1}}^{xx}} } = 0;\\ &&\qquad \sum\limits_{m = 1}^M {\sum\limits_{n = 1}^N {\beta _{mn}^{xy}} } {\rm{ = }}\sum\limits_{m = 1}^M {\sum\limits_{j = 1}^J {\beta _{mj}^{xb}} } = 0;\\ && \qquad m = 1, 2, \cdots, M;\;{m_1} = 1, 2, \cdots, M;\;n = 1, 2, \cdots, N;\;j = 1, 2, \cdots, J, \\ &&{\rm (vii)}\; \beta _{m{m_1}}^{xx} = \beta _{{m_1}m}^{xx}, m \ne {m_1};\beta _{n{n_1}}^{yy} = \beta _{{n_1}n}^{yy}, n \ne {n_1};\beta _{j{j_1}}^{bb} = \beta _{{j_1}j}^{bb}, j \ne {j_1}. \end{eqnarray} $

约束(ⅰ) 要求被估计的投入距离函数大于等于1, 确保所有观测点在技术上是可行的. 约束(ⅱ) 要求投入距离函数满足零结性, 期望产出生产过程必然伴随碳排放生成. 约束(ⅲ) 要求投入距离函数关于投入的偏弹性大于等于0, 即投入距离函数关于投入是非递减的. 约束(ⅳ) 要求投入距离函数关于期望产出偏弹性小于等于0, 这保证了投入距离函数关于期望产出是非递增的. 约束(ⅴ) 要求投入距离函数关于非期望产出偏弹性大于等于0, 确保投入距离函数关于非期望产出是非递减的, 这表明减排是有成本的, 非期望产出不能被自由处置. 其中, $ b_1^t $为二氧化碳. 约束(ⅵ) 确保投入具有合理的齐次性, 即投入距离函数值增加的倍数与投入扩张倍数相同. 约束(ⅶ) 保证满足对称性.

基于共同前沿环境生产技术的投入距离函数参数的估计方法与上述模型类似. 不同之处在于, 1) 基于共同前沿环境生产技术的线性规划目标函数需要寻找一组参数使得共同前沿技术与组群前沿技术距离之和最小; 2) 模型(13)中约束(ⅰ) 确保满足包络性, 即投入导向下共同前沿环境生产技术前沿面低于组群前沿环境生产技术. 具体的线性规划模型如下:

(13) $ \begin{eqnarray} &&\min \sum\limits_{t{\rm{ = }}1}^T \sum\limits_{k = 1}^K {\left[\ln \left(D_i^m\left({x^{kt}}, {y^{kt}}, {b^{kt}}\right)\right) - \ln \left(D_i^g\left({x^{kt}}, {y^{kt}}, {b^{kt}}\right)\right)\right]} \\ {\rm s.t.}&&({\rm i}) \ \ln \left(D_i^m\left({x^{kt}}, {y^{kt}}, {b^{kt}}\right)\right) \ge \ln \left(D_i^g\left({x^{kt}}, {y^{kt}}, {b^{kt}}\right)\right), k = 1, 2, \cdots, K, \\ &&({\rm ii}) \ \ln \left(D_i^m\left({x^{kt}}, {y^{kt}}, {b^{kt}}\right)\right) \ge 0, k = 1, 2, \cdots, K, \\ &&\quad \ \; \ \ln \left(D_i^g\left({x^{kt}}, {y^{kt}}, {b^{kt}}\right)\right) \ge 0, k = 1, 2, \cdots, K, \\ &&({\rm iii}) \ \ln \left(D_i^m\left({x^{kt}}, {y^{kt}}, 0\right)\right) < 0, k = 1, 2, \cdots, K, \\ &&\qquad \ln \left(D_i^g\left({x^{kt}}, {y^{kt}}, 0\right)\right) < 0, k = 1, 2, \cdots, K, \\ &&({\rm iv}) \ \frac{{\partial \ln (D_i^m({x^{kt}}, {y^{kt}}, {b^{kt}}))}}{{\partial \ln x_m^{kt}}} \ge 0, m = 1, 2, \cdots, M, \\ &&({\rm v}) \ \frac{{\partial \ln (D_i^m({x^{kt}}, {y^{kt}}, {b^{kt}}))}}{{\partial \ln y_n^{kt}}} \le 0, n = 1, 2, \cdots, N, \\ &&({\rm vi}) \ \frac{{\partial \ln (D_i^m({x^{kt}}, {y^{kt}}, {b^{kt}}))}}{{\partial \ln b_j^{kt}}} \ge 0, j = 1, 2, \cdots, J, \\ &&({\rm vii}) \ \sum\limits_{m = 1}^M {\alpha _m^x = 1} ;\sum\limits_{m = 1}^M {\sum\limits_{{m_1} = 1}^M {\beta _{m{m_1}}^{xx}} } = 0;\\ && \qquad\ \sum\limits_{m = 1}^M {\sum\limits_{n = 1}^N {\beta _{mn}^{xy}} } {\rm{ = }}\sum\limits_{m = 1}^M {\sum\limits_{j = 1}^J {\beta _{mj}^{xb}} } = 0;\\ && \qquad \ m = 1, 2, \cdots, M;{m_1} = 1, 2, \cdots, M;n = 1, 2, \cdots, N;j = 1, 2, \cdots, J, \\ &&({\rm viii}) \ \beta _{m{m_1}}^{xx} = \beta _{{m_1}m}^{xx}, m \ne {m_1};\beta _{n{n_1}}^{yy} = \beta _{{n_1}n}^{yy}, n \ne {n_1};\beta _{j{j_1}}^{bb} = \beta _{{j_1}j}^{bb}, j \ne {j_1}. \end{eqnarray} $

本文采用的共同前沿环境生产技术(13) 与Zhang and Jiang (2019)不完全相同, 不同之处主要体现在: 在模型(13)中增加约束(ⅱ) 确保技术可行性; 同时在模型(13)中新增约束(ⅲ) 确保满足零结合性.

2) 产出距离函数的参数估计

基于同质性环境生产技术前沿和组群环境生产技术前沿的产出距离函数参数, 可以通过以下线性规划模型估计:

(14) $ \begin{eqnarray} &&\max \sum\limits_{t = 1}^T \sum\limits_{k = 1}^K {\left[\ln \left(D_o^{h/g}\left({x^{kt}}, {y^{kt}}, {b^{kt}}\right)\right) - {\rm ln}1\right]} \\ {\rm s.t.}&&({\rm i}) \ \ln \left(D_o^{h/g}\left({x^{kt}}, {y^{kt}}, {b^{kt}}\right)\right) \le 0, k = 1, 2, \cdots, K, \\ &&({\rm ii}) \ \ln \left(D_o^{h/g}\left({x^{kt}}, {y^{kt}}, 0\right)\right) > 0, k = 1, 2, \cdots, K, \\ &&({\rm iii}) \ \frac{{\partial \ln (D_o^{h/g}({x^{kt}}, {y^{kt}}, {b^{kt}}))}}{{\partial \ln x_m^{kt}}} \le 0, m = 1, 2, \cdots, M, \\ &&({\rm ivv}) \ \frac{{\partial \ln (D_o^{h/g}({x^{kt}}, {y^{kt}}, {b^{kt}}))}}{{\partial \ln y_n^{kt}}} \ge 0, n = 1, 2, \cdots, N, \\ &&({\rm v}) \ \frac{{\partial \ln (D_o^{h/g}({x^{kt}}, {y^{kt}}, {b^{kt}}))}}{{\partial \ln b_j^{kt}}} \le 0, j = 1, 2, \cdots, J, \\ &&({\rm vi}) \ \sum\limits_{n = 1}^N {\alpha _n^y + \sum\limits_j^J {\alpha _j^b} = 1} ;\\ &&\qquad \ \sum\limits_n^N {\sum\limits_{{n_1} = 1}^N {\beta _{n{n_1}}^{yy} = \sum\limits_j^J {\sum\limits_{{j_1} = 1}^J {\beta _{j{j_1}}^{bb} = 0} } } } ;\\ &&\qquad \ \sum\limits_n^N {\sum\limits_j^J {\beta _{nj}^{yb}} } = \sum\limits_m^M {\sum\limits_n^N {\beta _{mn}^{xy}} } = \sum\limits_m^M {\sum\limits_j^J {\beta _{mj}^{xb}} } = 0;\\ &&\qquad \ m = 1, 2, \cdots, M;\\ &&\qquad \ n = 1, 2, \cdots, N;{n_1} = 1, 2, \cdots, N;\\ &&\qquad \ j = 1, 2, \cdots, J;{j_1} = 1, 2, \cdots, J;\\ &&({\rm vii}) \ \beta _{m{m_1}}^{xx} = \beta _{{m_1}m}^{xx}, m \ne {m_1};\\ &&\qquad \ \beta _{n{n_1}}^{yy} = \beta _{{n_1}n}^{yy}, n \ne {n_1};\beta _{j{j_1}}^{bb} = \beta _{{j_1}j}^{bb}, j \ne {j_1}. \end{eqnarray} $

由于产出距离函数在显函数选择及估计方法上与投入距离函数类似(模型(12)), 约束条件的经济含义在此不作赘述. 同理, 基于共同前沿环境生产技术的产出距离函数估计方法(模型(13))与上述模型类似. 不同之处体现在: 1) 基于共同前沿环境生产技术的线性规划目标函数旨在寻找一组参数使得共同前沿技术与组群前沿技术距离之和最小; 2) 模型(15)中约束(ⅰ) 确保满足包络性, 即产出导向下共同前沿环境生产技术前沿面高于组群前沿环境生产技术. 产出距离函数参数估计可以通过以下线性规划模型求解:

(15) $ \begin{equation} \begin{aligned} &\min \sum\limits_{t = 1}^T \sum\limits_{k = 1}^K \left[\ln \left(D_o^g\left({x^{kt}}, {y^{kt}}, {b^{kt}}\right)\right) - \ln \left(D_o^m\left({x^{kt}}, {y^{kt}}, {b^{kt}}\right)\right)\right]\\ {\rm s.t.}\qquad&({\rm i}) \ \ln \left(D_o^m\left({x^{kt}}, {y^{kt}}, {b^{kt}}\right)\right) \le \ln \left(D_o^g\left({x^{kt}}, {y^{kt}}, {b^{kt}}\right)\right), k = 1, 2, \cdots, K, \\ &({\rm ii}) \ \ln \left(D_o^m\left({x^{kt}}, {y^{kt}}, {b^{kt}}\right)\right) \le 0, k = 1, 2, \cdots, K, \\ &\quad \ \ \ln \left(D_o^g\left({x^{kt}}, {y^{kt}}, {b^{kt}}\right)\right) \le 0, k = 1, 2, \cdots, K, \\ & ({\rm iii})\ \ln \left(D_o^m\left({x^{kt}}, {y^{kt}}, 0\right)\right) > 0, k = 1, 2, \cdots, K, \\ &\qquad \ln \left(D_o^g\left({x^{kt}}, {y^{kt}}, 0\right)\right) > 0, k = 1, 2, \cdots, K, \\ &({\rm iv}) \ \frac{{\partial \ln (D_o^m({x^{kt}}, {y^{kt}}, {b^{kt}}))}}{{\partial \ln x_m^{kt}}} \le 0, m = 1, 2, \cdots, M, \\ & ({\rm v})\ \frac{{\partial \ln (D_o^m({x^{kt}}, {y^{kt}}, {b^{kt}}))}}{{\partial \ln y_n^{kt}}} \ge 0, n = 1, 2, \cdots, N, \\ &({\rm vi}) \ \frac{{\partial \ln (D_o^m({x^{kt}}, {y^{kt}}, {b^{kt}}))}}{{\partial \ln b_j^{kt}}} \le 0, j = 1, 2, \cdots, J, \\ &\qquad \sum\limits_n^N {\sum\limits_{{n_1} = 1}^N {\beta _{n{n_1}}^{yy} = \sum\limits_j^J {\sum\limits_{{j_1} = 1}^J {\beta _{j{j_1}}^{bb} = 0} } } } ;\\ &\qquad \sum\limits_n^N {\sum\limits_j^J {\beta _{nj}^{yb}} } = \sum\limits_m^M {\sum\limits_n^N {\beta _{mn}^{xy}} } = \sum\limits_m^M {\sum\limits_j^J {\beta _{mj}^{xb}} } = 0;\\ &\qquad \ m = 1, 2, \cdots, M;{m_1} = 1, 2, \cdots, M; n = 1, 2, \cdots, N;j = 1, 2, \cdots, J, \\ &({\rm viii}) \ \beta _{m{m_1}}^{xx} = \beta _{{m_1}m}^{xx}, m \ne {m_1};\\ &\qquad \ \beta _{n{n_1}}^{yy} = \beta _{{n_1}n}^{yy}, n \ne {n_1};\beta _{j{j_1}}^{bb} = \beta _{{j_1}j}^{bb}, j \ne {j_1}. \end{aligned} \end{equation} $

3) 方向距离函数的参数估计

基于同质性环境生产技术或组群生产技术前沿的方向距离函数参数可以通过下述线性规划模型估计:

(16) $ \begin{equation} \begin{aligned} &\min \sum\limits_{t = 1}^T {\sum\limits_k^K \left[{{\overrightarrow D }^{h/g}}\left({x^{kt}}, {y^{kt}}, {b^{kt}};{g_y}, - {g_b}\right) - 0\right]} \\ {\rm s.t.}\qquad &({\rm i}) \ {\overrightarrow D ^{h/g}}\left({x^{kt}}, {y^{kt}}, {b^{kt}};{g_y}, - {g_b}\right) \ge 0, k = 1, 2, \cdots, K, \\ &({\rm ii}) \ {\overrightarrow D ^{h/g}}\left({x^{kt}}, {y^{kt}}, 0;{g_y}, - {g_b}\right) < 0, k = 1, 2, \cdots, K, \\ &({\rm iii}) \ \frac{{\partial {{\overrightarrow D }^{h/g}}({x^{kt}}, {y^{kt}}, {b^{kt}};{g_y}, - {g_b})}}{{\partial x_m^{kt}}} \ge 0, m = 1, 2, \cdots, M, \\ &({\rm iv}) \ \frac{{\partial {{\overrightarrow D }^{h/g}}({x^{kt}}, {y^{kt}}, {b^{kt}};{g_y}, - {g_b})}}{{\partial y_n^{kt}}} \le 0, n = 1, 2, \cdots, N, \\ &({\rm v}) \ \frac{{\partial {{\overrightarrow D }^{h/g}}({x^{kt}}, {y^{kt}}, {b^{kt}};{g_y}, - {g_b})}}{{\partial b_j^{kt}}} \ge 0, j = 1, 2, \cdots, J, \\ &({\rm vi})\ \ {g_y}\sum\limits_{n = 1}^N {\alpha _n^y - {g_b}\sum\limits_j^J {\alpha _j^b} = - 1} ; \\ &\qquad \ {g_y}\sum\limits_n^N {\sum\limits_{{n_1} = 1}^N {\beta _{n{n_1}}^{yy} - {g_b}\sum\limits_n^N {\sum\limits_j^J {\beta _{nj}^{yb}} } } } = 0;\\ &\qquad \ {g_y}\sum\limits_n^N {\sum\limits_{j = 1}^J {\beta _{nj}^{yb} - {g_b}\sum\limits_j^J {\sum\limits_{{j_1} = 1}^J {\beta _{j{j_1}}^{bb} = 0} } } } ;\\ &\qquad \ {g_y}\sum\limits_m^M {\sum\limits_{n = 1}^N {\beta _{mn}^{xy} - {g_b}\sum\limits_m^M {\sum\limits_{j = 1}^J {\beta _{mj}^{xb} = 0} } } } ;\\ &\qquad \ m = 1, 2, \cdots, M;{m_1} = 1, 2, \cdots, M;\\ &\qquad \ n = 1, 2, \cdots, N;j = 1, 2, \cdots, J, \\ &({\rm vii}) \ \beta _{m{m_1}}^{xx} = \beta _{{m_1}m}^{xx}, m \ne {m_1};\\ &\qquad \ \beta _{n{n_1}}^{yy} = \beta _{{n_1}n}^{yy}, n \ne {n_1};\beta _{j{j_1}}^{bb} = \beta _{{j_1}j}^{bb}, j \ne {j_1}. \end{aligned} \end{equation} $

目标函数旨在使得所有观测点与生产前沿的距离之和最小. 约束(ⅰ) 保证了技术可行性; 约束(ⅱ) 确保满足零结合性; 约束(ⅲ)$ \sim $(ⅴ) 分别对投入、期望产出和非期望产出分别施加单调性约束; 约束(ⅵ) 施加转换性质约束, 且不同方向向量对应不同估计参数; 约束(ⅶ) 确保对称性.

基于共同前沿环境生产技术的方向距离函数估计方法与模型(16)类似. 不同之处在于, 1) 基于共同前沿环境生产技术的线性规划目标函数旨在寻找一组参数使得共同前沿技术与组群前沿技术距离之和最小; 2) 约束(ⅰ) 保证满足零结合性, 即共同前沿环境生产技术前沿面高于组群前沿环境生产技术.

(17) $ \begin{align*} &\min \sum\limits_{t = 1}^T {\sum\limits_k^K \left[{{\overrightarrow D }^m}\left({x^{kt}}, {y^{kt}}, {b^{kt}};{g_y}, - {g_b}\right) - {{\overrightarrow D }^g}\left({x^{kt}}, {y^{kt}}, {b^{kt}};{g_y}, - {g_b}\right)\right]} \\ {\rm s.t.}\qquad &({\rm i}) \ {\overrightarrow D ^m}\left({x^{kt}}, {y^{kt}}, {b^{kt}};{g_y}, - {g_b}\right) \ge {\overrightarrow D ^g}\left({x^k}, {y^k}, {b^k};{g_y}, - {g_b}\right), \\ &({\rm ii}) \ {\overrightarrow D ^m}\left({x^{kt}}, {y^{kt}}, {b^{kt}};{g_y}, - {g_b}\right) \ge 0, k = 1, 2, \cdots, K, \\ &\qquad {\overrightarrow D ^g}\left({x^k}, {y^k}, {b^k};{g_y}, - {g_b}\right) \ge 0, k = 1, 2, \cdots, K, \\ &({\rm iii}) \ {\overrightarrow D ^m}\left({x^{kt}}, {y^{kt}}, 0;{g_y}, - {g_b}\right) < 0, k = 1, 2, \cdots, K, \\ &\qquad {\overrightarrow D ^g}\left({x^k}, {y^k}, 0;{g_y}, - {g_b}\right) < 0, k = 1, 2, \cdots, K, \\ &({\rm iv}) \ \frac{{\partial {{\overrightarrow D }^m}({x^{kt}}, {y^{kt}}, {b^{kt}};{g_y}, - {g_b})}}{{\partial x_m^k}} \ge 0, m = 1, 2, \cdots, M, \\ & ({\rm v})\ \frac{{\partial {{\overrightarrow D }^m}({x^{kt}}, {y^{kt}}, {b^{kt}};{g_y}, - {g_b})}}{{\partial y_n^k}} \le 0, n = 1, 2, \cdots, N, \\&({\rm vi}) \ \frac{{\partial {{\overrightarrow D }^m}({x^{kt}}, {y^{kt}}, {b^{kt}};{g_y}, - {g_b})}}{{\partial b_j^k}} \ge 0, j = 1, 2, \cdots, J, \\ &({\rm vii}) \ {g_y}\sum\limits_{n = 1}^N {\alpha _n^y - {g_b}\sum\limits_j^J {\alpha _j^b} = - 1} ;\\ &\qquad \ {g_y}\sum\limits_n^N {\sum\limits_{{n_1} = 1}^N {\beta _{n{n_1}}^{yy} - {g_b}\sum\limits_n^N {\sum\limits_j^J {\beta _{nj}^{yb}} } } } = 0;\\ &\qquad \ {g_y}\sum\limits_n^N {\sum\limits_{j = 1}^J {\beta _{nj}^{yb} - {g_b}\sum\limits_j^J {\sum\limits_{{j_1} = 1}^J {\beta _{j{j_1}}^{bb} = 0} } } } ;\\ &\qquad \ {g_y}\sum\limits_m^M {\sum\limits_{n = 1}^N {\beta _{mn}^{xy} - {g_b}\sum\limits_m^M {\sum\limits_{j = 1}^J {\beta _{mj}^{xb} = 0} } } } ;\\ &\qquad \ m = 1, 2, \cdots, M;{m_1} = 1, 2, \cdots, M;\\ &\qquad \ n = 1, 2, \cdots, N;j = 1, 2, \cdots, J, \\ &({\rm viii}) \ \beta _{m{m_1}}^{xx} = \beta _{{m_1}m}^{xx}, m \ne {m_1};\\ &\qquad \ \beta _{n{n_1}}^{yy} = \beta _{{n_1}n}^{yy}, n \ne {n_1};\beta _{j{j_1}}^{bb} = \beta _{{j_1}j}^{bb}, j \ne {j_1}. \end{align*} $

4) 距离函数的应用特征

基于投入距离函数的影子价格估计方法, 从投入导向构建环境生产技术, 因而能够清晰直观刻画生产者的投入成本节约特征. 在现实中, 一些企业能够在保持期望产出不变甚至增加的条件下, 通过增加技术研发资金来发展清洁低碳技术、新能源技术和碳捕集与封存技术实现二氧化碳减排, 在该情境下基于投入距离函数的影子价格估计模型可能更加贴近现实生产和减排过程.

基于产出距离函数的影子价格估计方法, 从产出导向构建环境生产技术, 因而更能刻画生产者追求收益最大化的理性人特征. 产出距离函数追求期望产出和非期望产出的同方向、同比例扩大, 但技术效率的提升不一定带来净收益的增加. 此外, 现实中企业能够通过技术进步实现期望产出增加的同时非期望产出反而下降, 因此期望和非期望产出同方向变动的假设可能与现实不完全相符.

方向距离函数更具弹性, 可以实现期望产出增加的同时减少非期望产出, 因此方向距离函数可能更符合我国发展绿色经济的现实需求. 在长期企业可以通过能源效率改善、科技进步和产业结构升级等手段, 提高生产效率, 实现期望产出增加的同时污染物反而下降. 因而, 方向距离函数可能适用于长期二氧化碳边际减排成本的测度. 方向向量实际上反映了企业调整期望和非期望产出的不同方式, 例如企业可以选择同时缩减期望和非期望产出, 亦可以在增加期望产出的同时减少非期望产出. 值得注意的是, 由于方向向量选择具有较强的主观性, 影子价格估计结果可能因此而有较大差异.

假定投入要素市场价格向量, 记为$ {{w}} = ({w_1}, {w_2}, \cdots, {w_M}) \in {{R}}_ + ^M $, 期望产出的市场价格向量, 记为$ {{p}} = ({p_1}, {p_2}, \cdots, {p_N}) \in {{R}}_ + ^N $, 非期望产出影子价格, 记为$ {{q}} = ({q_1}, {q_2}, \cdots, {q_J}) \in {{R}}_ + ^J $, 其中二氧化碳影子价格为$ {q_1} $. 借鉴Färe et al. (2006)中影子价格推导思路, 本文首先定义利润函数为:

(18)$ \begin{equation*} \pi ({{w}}, {{p}}, {{q}}) = \max \{ {{py}} - {{qb}} - {{wx}}:{\rm{(}}{{x}}, {{y}}, {{b}}) \in {{T}}\}. \end{equation*} $

由于利润函数表示给定投入和产出要素价格下的最大利润水平, 因此利润函数应当满足:

(19)$\begin{equation*} \begin{aligned} \pi ({{w}}, {{p}}, {{q}}) \ge&\; {{py}} - {{qb}} - {{wx}} + {{p}}{\overrightarrow {{D}} _{(\cdot)}}{\rm{(}}{{x}}, {{y}}, {{b}};{{g}}){{{g}}_{{y}}} + \\ &\; {{q}}{\overrightarrow {{D}} _{(\cdot)}}{\rm{(}}{{x}}, {{y}}, {{b}};{{g}}){{{g}}_{{b}}} + {{w}}{\overrightarrow {{D}} _{(\cdot)}}{\rm{(}}{{x}}, {{y}}, {{b}};{{g}}){{{g}}_{{x}}}\\ =&\; {{py}} - {{qb}} - {{wx}} + {\overrightarrow {{D}} _{(\cdot)}}{\rm{(}}{{x}}, {{y}}, {{b}};{{g}}) \times ({{p}}{{{g}}_{{y}}} + \;{{q}}{{{g}}_{{b}}} + {{w}}{{{g}}_{{x}}}). \end{aligned} \end{equation*} $

$ {\overrightarrow {{D}} _{(\cdot)}} $可以表示投入距离函数、产出距离函数或方向距离函数. 不等式左边表示理想的最大化利润水平, 右端表示观测利润与由效率改善带来的利润增加之和. 效率改善带来的利润增加由期望产出增加、投入下降和非期望产出减少带来的利润增加三部分构成.利润函数不等式(19)可以等价变换为下述无约束问题:

$ \begin{equation*} \begin{aligned} {\overrightarrow {{D}} _{(\cdot)}}{\rm{(}}{{x}}, {{y}}, {{b}};{{g}}) \le &\; \frac{{\pi ({{w}}, {{p}}, {{q}}) - ({{py}} - {{qb}} - {{wx}})}}{{{{p}}{{{g}}_{{y}}} + \;{{q}}{{{g}}_{{b}}} + {{w}}{{{g}}_{{x}}}}}\\ = &\; \min \left\{ \frac{{\pi ({{w}}, {{p}}, {{q}}) - ({{py}} - {{qb}} - {{wx}})}}{{{{p}}{{{g}}_{{y}}} + \;{{q}}{{{g}}_{{b}}} + {{w}}{{{g}}_{{x}}}}}\right\}. \end{aligned} \end{equation*} $

假定距离函数和利润函数处处可导, 对上述无约束问题应用包络定理, 可得:

$ {\nabla _{{x}}}{\overrightarrow {{D}} _{(\cdot)}}{\rm{(}}{{x}}, {{y}}, {{b}};{{g}}) = \frac{{{w}}}{{{{p}}{{{g}}_{{y}}} + \;{{q}}{{{g}}_{{b}}} + {{w}}{{{g}}_{{x}}}}}, $

$ {\nabla _{{y}}}{\overrightarrow {{D}} _{(\cdot)}}{\rm{(}}{{x}}, {{y}}, {{b}};{{g}}) = \frac{{ - {{p}}}}{{{{p}}{{{g}}_{{y}}} + \;{{q}}{{{g}}_{{b}}} + {{w}}{{{g}}_{{x}}}}}, $

$ {\nabla _{{b}}}{\overrightarrow {{D}} _{(\cdot)}}{\rm{(}}{{x}}, {{y}}, {{b}};{{g}}) = \frac{{{q}}}{{{{p}}{{{g}}_{{y}}} + \;{{q}}{{{g}}_{{b}}} + {{w}}{{{g}}_{{x}}}}}. $

在微观经济学中, 产品的边际转换率(marginal rate of transformation, MRT) 可以用生产可能性曲线斜率的绝对值来表征, 其经济学含义为利用同等投入要素增加生产一种产品则必须放弃的另一种产品的数量, 即以另一种产品的变化量来刻画生产特定产品的机会成本. 本文定义生产规模缩减策略下二氧化碳影子价格为减少一单位的二氧化碳排放需要放弃的期望产出值, 可以通过环境生产技术前沿面上期望和非期望产出间的边际转换率来测度. 假定期望产出的影子价格等于市场价格, 则生产规模缩减策略下二氧化碳影子价格的计算公式为:

$ {q_1} = {p_n} \cdot {\rm MRT}_{y, b}= \;{p_n} \cdot \frac{{\partial {{\overrightarrow {{D}} }_{(\cdot)}} {\rm{(}}{{x}}, {{y}}, {{b}};{{g}})/\partial {b_1}}}{{\partial {{\overrightarrow {{D}} }_{(\cdot)}}{\rm{(}}{{x}}, {{y}}, {{b}};{{g}})/\partial {y_n}}}. $

二氧化碳生成将减少环境纯净空间, 且二氧化碳主要源于化石能源燃烧, 据此可将二氧化碳可看作一种特殊的投入要素. 在微观经济学中, 边际技术替代率(marginal rate of technical substitution, MRTS) 指在产量保持不变的条件下, 减少一种生产要素的数量与需要增加的另一种生产要素的数量之比. 基于投入要素对二氧化碳的边际技术替代率, 本文定义投入要素替代策略下二氧化碳的影子价格为减少一单位的二氧化碳排放需要额外增加的投入要素成本, 例如增加资本投入用于新能源技术、碳减排技术和能效提升技术等减少二氧化碳. 假定投入要素的影子价格等于其市场价格, 则投入要素替代策略下二氧化碳影子价格计算公式为:

$ {q_1} = {w_m} \cdot {\rm MRT}{S_{x, b}} = \;{w_m} \cdot \frac{{\partial {{\overrightarrow {{D}} }_{(\cdot)}} {\rm{(}}{{x}}, {{y}}, {{b}};{{g}})/\partial {b_1}}}{{\partial {{\overrightarrow {{D}} }_{(\cdot)}}{\rm{(}}{{x}}, {{y}}, {{b}};{{g}})/\partial {x_m}}}. $

为了减少二氧化碳, 生产者既可以采取生产规模缩减策略, 亦可采取投入要素替代策略, 理性的生产者将选取成本最小的减排策略作为当期最佳的减排策略. 不同于传统Färe影子价格分析框架, 本文将现实中存在异质性减排策略考虑在内, 理论上能够估算出更加贴近实际价格的二氧化碳影子价格. Kuosmanen and Zhou (2021)考虑了多种减排策略对二氧化碳边际减排成本进行了重新定义, 参考该研究思路, 得到异质性减排策略下的二氧化碳影子价格为:

$ {\rm{SP}}({{w}}, {{p}}, {{q}}) = \min\{ {p_n} \cdot {\rm MRT}_{y, b}, {w_m} \cdot {\rm MRT}{S_{x, b}}\}. $

测度二氧化碳影子价格是科学评估区域碳减排潜力与成本的基础性工作, 亦是完善我国碳排放权交易机制以及确定合理的碳税价格的重要理论依据. 本文首先梳理基于Färe参数化二氧化碳影子价格分析框架的相关研究成果, 发现国内外学者主要围绕环境生产技术和距离函数估计两个方面对二氧化碳影子价格测度模型进行理论改进和优化, 然而由于具体的测算模型不同, 导致我国二氧化碳影子价格估计结果相差较大, 削弱了二氧化碳影子价格估计的准确性和有效性. 不同学者在是否考虑二氧化碳与其他污染物间的协同效应、生产技术差异、距离函数的显函数选择以及对距离函数施加约束条件、影子价格推导等方面依然存在较大分歧, 是造成以往影子价格测算结果差异的重要因素.

为此, 本文尝试从投入和产出变量设定、生产技术构建、距离函数的显函数选择以及对距离函数施加的约束条件、影子价格推导过程等方面进行统一改进, 重点考虑了异质性生产技术、异质性技术进步和异质性减排策略等关键问题对影子价格估计结果的影响, 提出了一个统一的参数化二氧化碳影子价格分析框架. 首先统一框架识别了生产技术异质性特征, 通过共同前沿方法构建了异质性环境生产技术; 其次在选择距离函数的显函数时, 统一框架在距离函数的显函数中引入时间趋势项来识别异质性技术进步; 再次在估计距离函数的参数时, 新增零结合性约束来提高生产函数的拟合优度. 最后在影子价格推导过程中纳入异质性减排策略, 理论上可以得到更加贴近实际价格的二氧化碳影子价格.

本文提出的参数化二氧化碳影子价格统一框架, 在理论及应用方面仍存在一些不足, 后续研究可考虑以下可突破之处: 1) 本文提出的参数化二氧化碳影子价格统一框架没有考虑空间依赖性和空间异质性对影子价格估计的影响. 2) 本文假定方向向量是外生给定的, 且对所有决策单元施加相同的方向向量, 未考虑决策单元的偏好特征, 未来可以考虑探究如何将生产者与政府的行为偏好与方向向量进行有机匹配, 构建更加贴近现实生产和减排过程的环境生产技术. 3) 本文仅提出了参数化二氧化碳影子价格统一框架, 缺乏相关实证应用探究. 后续研究可考虑将影子价格统一框架应用于碳减排潜力与成本评估、碳减排策略与路径设计、碳生产效率测度以及绿色GDP核算等领域.