Dynamic Double Spatial Autoregressive Model and Impulse Response Analysis

Xinxian LI; Kunpeng LI; Weiming LI

doi:10.12012/2020-0030-18

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China Journal of Econometrics ›› 2021, Vol. 1 ›› Issue (1) : 66-83. DOI: 10.12012/2020-0030-18

Dynamic Double Spatial Autoregressive Model and Impulse Response Analysis

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Abstract

Dynamic double spatial autoregressive (DDSAR) model is one of popular models in spatial econometric analysis, and is widely used in applications for its generality. This paper provides a new tool in a DDSAR model-impluse response analysis. The new tool captures the average change of dependent variable due to one-unit change of explanatory variable and the spatial structure existing in disturbances and dependent variables. Following the classical studies (LeSage and Pace (2009)), we decompose the effect into direct, indirect and total effects, and define the respective dynamic values over time and the accumulated ones. The paper provides the estimation method and inferential theory on these values. Monte Carlo simulations confirm our theoretical results and show good finite-sample performance of the estimators. We apply the new econometric tool to the regional economic development of China, and particularly investigate the nexus of human capital and GDP per capita. We find that the impulse response of indirect effects is positive in the short term and negative over the long term, implying that the relationship of Chinese regional economies are win-win in the short term and competitive over the long term. Policy suggestions are made.

Key words

dynamic models / spatial autoregressive models / maximum likelihood estimation / impulse response / economic growth

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Xinxian LI , Kunpeng LI , Weiming LI. Dynamic Double Spatial Autoregressive Model and Impulse Response Analysis. China Journal of Econometrics, 2021, 1(1): 66-83 https://doi.org/10.12012/2020-0030-18

1 引言

本文的目标是为动态双重空间自回归模型提供一种新的计量分析工具——脉冲响应分析, 并为这一分析提供估计方法和推断理论. 这里, 双重空间自回归模型指的是被解释变量和扰动项均存在空间自回归结构的空间模型¹. 该模型因为广泛的一般性在实证研究中得到了特别的关注. 一些常见的空间模型, 例如空间自回归面板模型(spatial autoregressive model, SAR)、空间误差面板(spatial error model, SEM)模型等, 均可以视为该模型的特例. 本文涉及的空间计量经济学在过去的四十年里是计量经济学最活跃的领域之一, 其计量模型广泛应用于微观、宏观、国际贸易等领域的实证研究. 在一些特定的专题, 比如社会网络、同群效应、产业集聚等的研究中, 空间模型为研究者提供了一组重要的、也许是不可替代的计量学分析工具.

¹文献中Lee and Yu (2010)将该模型称为扰动项存在空间自回归的空间自回归模型(spatial autoregressive model with spatial autoregressive disturbances). 本文将其称为双重空间自回归模型, 表述相对更简洁.

空间计量模型可以追溯至Cliff and Ord (1973)提出的空间自回归模型. 由于空间自回归项的引入所导致的内生性问题, 常见的普通最小二乘法(OLS)不能给出一致的估计. 针对这一问题, 比较流行的估计方法是工具变量法和广义矩估计方法(Kelejian and Prucha (1998, 1999), Lee (2007))和极大似然估计方法(Lee (2004)). Lee (2007)讨论了拟极大似然估计和广义矩估计之间的联系, 并提出了有效广义矩方法. 有效广义矩方法借鉴了极大似然法一阶导条件中暗含的线性矩条件, 同时优化了二阶矩条件. 经过有效组合两类矩条件, 该方法规避了广义矩估计中的海量矩偏误(Moon and Phillips (2004))问题.

随着面板数据可获得性的提高, 后期的理论发展主要集中在面板模型. Kapoor et al. (2007)使用广义矩方法估计了误差项具有空间相关的面板模型. Lee and Yu (2014)使用有效广义矩方法估计有多个空间滞后的动态面板模型. Yu, De Jong and Lee (2008)使用极大似然方法估计了动态空间面板模型. Lee and Yu (2010)使用极大似然方法估计误差项是静态双重空间自回归面板模型. Li (2017)使用极大似然方法, 估计了多个空间滞后和多个时间滞后的动态面板模型, 并给出了模型的脉冲分析以及直接效应、间接效应和总效应随时间的动态演变路径. Li (2018)考察用极大似然方法估计存在断点的空间自回归面板模型.

与现有的文献相比, 本文的模型在Yu, De Jong and Lee (2008)的模型基础上, 引入了误差项的空间相关性; 在Lee and Yu (2010)的模型基础上, 引入了动态滞后项. 因此, 本文考察的模型与已有文献的模型相比, 在特定的方面更具一般性. 此外, 我们还将Li (2017)的脉冲分析引入到当前的模型中, 给出了直接效应、间接效应和总效应的动态关系. 脉冲分析在向量自回归模型中占据着重要的地位. 本文给出的脉冲分析和向量自回归模型的脉冲分析, 有着相同的经济学解释, 因此具有较为丰富的经济学含义和应用前景. 我们将新的计量工具应用到中国区域经济发展的研究中, 并重点考察了人力资本与人均GDP之间的关系. 我们发现人力资本的直接效应始终为正, 且随着时间缓慢衰减; 间接效应则短期内为正, 长期内为负; 总效应则短期是正, 长期不显著. 我们的实证结果意味着: 从人力资本角度看, 区域经济体短期之内是共赢关系, 长期内是竞争性关系. 以往的空间面板计量分析, 一般以空间自回归系数的符号来判断空间溢出效应. 鉴于绝大多数的研究都发现正的空间溢出效应(肖志勇(2010), 高远东和花拥军(2012), 邓飞和柯文进(2020)), 现有的研究一般认为区域经济体是一种共赢关系. 在本文新的分析工具下, 我们发现区域经济体本质上是竞争关系, 并因此对应着相对保守的政策含义.

本文的理论分析是在大

N

大

T

环境中展开的, 这里

N

是横截面个体数量,

T

是时间的观测数. 大

N

大

T

环境是由空间模型和脉冲分析所决定的. 即使在大

N

大

T

环境里, 由于个体固定效应的存在, 会产生伴随参数的问题(incidental parameters problem) (Neyman and Scott (1948)). 虽然伴随参数问题不会导致估计量的不一致, 但是会产生一个渐近意义上不能忽略的偏倚(bias). 如果不对这一偏倚进行校正, 基于极大似然估计量的统计推断会有尺度扭曲(size distortion)的后果. 遵循标准计量文献的处理方法(Hahn and Kuersteiner (2002), Yu, De Jong and Lee (2008), Li (2017)), 我们对极大似然估计进行了校正. 本模型中显性的偏倚校正表达式也是本文的一个理论贡献. 替代地, 我们也可以考虑用广义矩方法来估计我们的模型. 但是在大

T

环境下, 广义矩方法会有海量矩偏误. 其最终的大样本性质, 并不必然会比极大似然估计量好. 此外, 因为矩条件众多, 计算成本将会非常得大. Lee and Yu (2014)考察了有效矩方法. 这一方法虽然能够规避海量矩偏误问题, 但是该方法本质上是用较大的方差去换取较小的偏误, 其最终估计量的有限样本表现没有定论.

本文剩下的内容安排如下: 第二节给出了模型的设定、似然函数和假设条件, 限于篇幅对于假设条件, 没有做过多的讨论; 第三节给出了极大似然估计量的渐近性质; 第四节讨论了与模型相关的三种效应的脉冲函数, 脉冲函数的估计与统计推断理论也一并给出; 第五节我们运行了蒙特卡罗实验来检验估计量的有限样本性质; 第六节我们将提出的计量工具应用到中国区域经济发展的研究中; 最后一节是结论. 下面我们定义一些符号: 对于向量

A_{t}

{\dot{A}}_{t}

表示

A_{t} - \frac{1}{T - 1} \sum_{s = 2}^{T} A_{s}

; 对于矩阵

M

∥ M ∥

表示的是矩阵的欧几里得范数, 即

∥ M ∥ = \sqrt{t r (M^{'} M)}

;

∥ M ∥_{1}

范数的定义是

∥ M ∥_{1} = max_{1 \leq j \leq N} \sum_{i = 1}^{N} | m_{i j} |

, 这里

m_{i j}

是矩阵

M

的第

(i, j)

个元素;

∥ M ∥_{\infty}

范数的定义是

∥ M ∥_{\infty} = max_{1 \leq i \leq N} \sum_{j = 1}^{N} | m_{i j} |

2 模型设定、似然函数和假设条件

本文考察的模型是下面的动态双重自回归面板数据模型:

\begin{aligned} Y_{t} & = μ^{*} + λ^{*} {W Y}_{t} + ϱ^{*} Y_{t - 1} + γ^{*} W Y_{t - 1} + X_{t} β^{*} + U_{t}, \\ U_{t} & = ρ^{*} {M U}_{t} + e_{t}, \end{aligned}

其中

Y_{t} = (y_{1 t}, \dots, y_{N t})^{'}

是

t

时刻

N

维被解释变量的观测值向量;

X_{t} = (x_{1 t}, \dots, x_{N t})^{'}

是

t

时刻

N \times k

维解释变量观测值矩阵;

W

和

M

是

N \times N

观测到的外生权重矩阵, 这里我们允许

M

和

W

是一样的, 也可以是不一样的;

e_{t} = (e_{1 t}, \dots, e_{N t})^{'}

是

N

维扰动项向量, 这里

e_{i t}

是独立同分布的, 均值为0、方差为

σ^{* 2}

的随机变量;

μ^{*} = (μ_{1}^{*}, \dots, μ_{N}^{*})^{'}

是个体固定效应. 本文中所有带"

*

"的符号, 均表示真值.

定义

θ = (λ, ϱ, γ, β^{'}, ρ, σ^{2})^{'}

表示关注参数(parameters of interest), 在

e_{i t}

服从正态分布的假定下, 对数极大似然函数是:

\begin{aligned} L (θ, μ) = & - \frac{1}{2} \ln σ^{2} - \frac{1}{2 N \bar{T} σ^{2}} \sum_{t = 2}^{T} Z_{t} (μ, λ, Φ, ρ)^{'} Z_{t} (μ, λ, Φ, ρ) + \frac{1}{N} \ln | D (λ) | + \frac{1}{N} \ln | S (ρ) |, \end{aligned}

其中

Z_{t} (μ, λ, Φ, ρ) = S (ρ) [D (λ) Y_{t} - ϱ Y_{t - 1} - γ {W Y}_{t - 1} - X_{t} β - μ]

S (ρ) = I_{N} - ρ M

D (λ) = I_{N} - λ W

和

\bar{T} = T - 1

. 给定

θ

, 我们可以容易地求出

μ

的最大值点为

\hat{μ} = \frac{1}{\bar{T}} \sum_{t = 2}^{T} [D (λ) Y_{t} - ϱ Y_{t - 1} - γ {W Y}_{t - 1} - X_{t} β]

. 将该表达式代入对数似然函数中, 我们得到如下的中心化似然函数:

L (θ) = - \frac{1}{2} \ln σ^{2} - \frac{1}{2 N \bar{T} σ^{2}} \sum_{t = 2}^{T} {\dot{Z}}_{t} (λ, Φ, ρ)^{'} {\dot{Z}}_{t} (λ, Φ, ρ) + \frac{1}{N} \ln | D (λ) | + \frac{1}{N} \ln | S (ρ) |,

其中

{\dot{Z}}_{t} (λ, Φ, ρ) = S (ρ) [D (λ) {\dot{Y}}_{t} - ϱ {\dot{Y}}_{t - 1} - γ W {\dot{Y}}_{t - 1} - {\dot{X}}_{t} β]

{\dot{Y}}_{t} = Y_{t} - \frac{1}{\bar{T}} \sum_{t = 2}^{T} Y_{t}

为了分析上面的似然函数的估计量, 我们施加如下的假设条件:

假设A

e_{i t}

在

i

和

t

是独立同分布的且

E (| e_{i t} |^{4 + c}) < \infty

对某个

c > 0

假设B 真值

θ^{*} = (λ^{*}, ϱ^{*}, γ^{*}, β^{*'}, ρ^{*}, σ^{* 2})^{'}

是紧集参数空间

P a r a (θ) = R_{λ} \times R_{ϱ} \times R_{γ} \times R^{k} \times R_{ρ} \times R^{+}

的内点, 这里

R^{k}

是

k

维欧式空间,

R^{+} = (0, \infty)

假设C 对所有的

λ \in R_{λ}

和

ρ \in R_{ρ}

D (λ)

和

S (ρ)

是可逆的.

假设D

W

和

M

是对角元素均为0的外生空间权重矩阵, 并且它们的

∥ \cdot ∥_{1}

范数和

∥ \cdot ∥_{\infty}

范数均有界. 此外

D (λ)^{- 1}

和

S (ρ)^{- 1}

的

∥ \cdot ∥_{1}

范数和

∥ \cdot ∥_{\infty}

范数在参数空间

R_{λ}

和

R_{ρ}

上均是有界的.

假设E

| I_{N} - D^{* - 1} R^{*} x | = 0

的特征根位于单位圆外, 而且

\sum_{v = 0}^{\infty} ∥ B_{v}^{*} ∥_{1}

和

\sum_{v = 0}^{\infty} ∥ B_{v}^{*} ∥_{\infty}

均有限, 这里

B_{v}^{*} = (D^{* - 1} R^{*})^{v} D^{* - 1}

D^{*} = I_{N} - λ^{*} W

R^{*} = ϱ^{*} I_{N} + γ^{*} W

假设F

X_{t}

的元素是非随机的, 并且是有界的. 此外, 矩阵

Ξ = lim_{N, T \to \infty} \frac{1}{N T} E ({\tilde{X}}_{t}^{'} {S^{*}}^{'} S^{*} {\tilde{X}}_{t})

是严格正定的, 并且它的最大特征值是有界的, 这里

{\tilde{X}}_{t} = [{\tilde{Y}}_{t - 1}, W {\tilde{Y}}_{t - 1}, {\dot{X}}_{t}]

{\tilde{Y}}_{t} = \sum_{v = 0}^{\infty} B_{v}^{*} {\dot{X}}_{t - v} β^{*} + \sum_{v = 0}^{\infty} B_{v}^{*} S^{* - 1} e_{t - v}

S^{*} = I_{N} - ρ^{*} M

假设G 以下两个条件之一满足:

G1. 对所有的

λ \in R_{λ}

和

ρ \in R_{ρ}

, 如果

(λ, ρ) \neq (λ^{*}, ρ^{*})

, 有:

\underset{N \to \infty}{lim inf} \frac{1}{N} \ln | F (λ, ρ) | - \frac{1}{2} \ln | \frac{1}{N} t r [F (λ, ρ)^{'} F (λ, ρ)] | > 0,

其中

F (λ, ρ) = S (ρ) D (λ) D^{* - 1} S^{* - 1}

G2. 对紧集

R_{ρ}

上所有的

ρ

, 当

N, T \to \infty

, 矩阵

M_{Z Z} = \frac{1}{N T} \sum_{t = 2}^{T} Z_{t} (ρ) Z_{t} (ρ)^{'}

是非奇异的, 这里

Z_{t} (ρ) = (I_{N} - ρ M) [{\tilde{X}}_{t}, G^{*} {\tilde{X}}_{t} Φ^{*}]

Φ^{*} = (ϱ^{*}, γ^{*}, β^{*'})^{'}

G^{*} = W D^{* - 1}

, 而

{\tilde{X}}_{t}

在假设F中定义. 此外, 对任意

ρ \in R_{ρ}

, 如果

ρ \neq ρ^{*}

, 有:

\underset{N \to \infty}{lim inf} \frac{1}{N} \ln | S (ρ) S^{* - 1} | - \frac{1}{2} \ln | \frac{1}{N} t r [S^{* - 1'} S (ρ)^{'} S (ρ) S^{* - 1}] | > 0.

以上的假设条件与Lee and Yu (2010)的假设条件是类似的, 除了我们额外的施加了假设E. 假设E要求随机部分是平稳的, 这保证了后面的脉冲值有着良好的定义. 注意, 虽然本文考察的是动态模型, 而Lee and Yu (2010)考察的是静态模型, 但是识别条件完全一样的, 所以本文的识别条件即假定G, 和Lee and Yu (2010)识别条件即假定7, 是一样的.

3 极大似然估计的渐近性质

首先定义极大似然估计量, 其表达式为:

\hat{θ} = \underset{θ \in Θ}{\arg max} L (θ) .

这里

L (θ)

在方程(1)中定义. 实际中, 我们是通过优化算法来获取

\hat{θ}

, 因此其一般不是准确的极大值, 为此我们用下面替代的极大似然估计量的定义:

L (\hat{θ}) \geq sup_{θ \in Θ} L (θ) - | o_{p} [max (\frac{1}{N T}, \frac{1}{T^{2}})] | .

下面的定理表明极大似然估计量是一致的.

定理1 在假设A

\sim

G成立的条件下, 当

N, T \to \infty

\hat{θ} \overset{p}{\to} θ^{*}

为了给出极大似然估计的极限分布, 我们引入下面符号. 定义

(k + 5)

维的列向量

Δ_{N} = {[\frac{1}{N} t r (W D^{* - 1}), \frac{1}{N} t r (D^{* - 1}), \frac{1}{N} t r (W D^{* - 1}), 0_{1 \times k}, \frac{1}{N} t r (H^{*}), \frac{1}{2 σ^{* 2}}]}^{'},

这里

D^{*} = (1 - ϱ^{*}) I_{N} - (λ^{*} + γ^{*}) W

. 进一步, 定义矩阵

Ω_{0, N T}

和

Ω_{1, N T}

如下:

\begin{aligned} Ω_{0, N T} & = \frac{1}{N \bar{T} σ^{* 2}} [\begin{array}{cccc} \sum_{t = 2}^{T} E ({\dot{Y}}_{t}^{'} W^{'} S^{*'} S^{*} W {\dot{Y}}_{t}) & \underset{1 \times (k + 2)}{\sum_{t = 2}^{T} E ({\dot{Y}}_{t}^{'} W^{'} S^{*'} S^{*} {\dot{X}}_{t})} & 0 & 0 \\ \underset{(k + 2) \times 1}{\sum_{t = 2}^{T} E ({\dot{X}}_{t}^{'} W^{'} S^{*'} S^{*} {\dot{Y}}_{t})} & \underset{(k + 2) \times (k + 2)}{\sum_{t = 2}^{T} E ({\dot{X}}_{t}^{'} S^{*'} S^{*} {\dot{X}}_{t})} & \underset{(k + 2) \times 1}{0} & \underset{(k + 2) \times 1}{0} \\ 0 & \underset{1 \times (k + 2)}{0} & 0 & 0 \\ 0 & \underset{1 \times (k + 2)}{0} & 0 & N \bar{T} / (2 σ^{* 2}) \end{array}] + \\ \frac{1}{N} [\begin{array}{cccc} t r (G^{*} G^{*}) & \underset{1 \times (k + 2)}{0} & t r (H^{s *} {\ddot{G}}^{*}) & t r (G^{*}) / σ^{* 2} \\ \underset{(k + 2) \times 1}{0} & \underset{(k + 2) \times (k + 2)}{0} & \underset{(k + 2) \times 1}{0} & \underset{(k + 2) \times 1}{0} \\ t r (H^{s *} {\ddot{G}}^{*}) & \underset{1 \times (k + 2)}{0} & t r (H^{s *} H^{*}) & t r (H^{*}) / σ^{* 2} \\ t r (G^{*}) / σ^{* 2} & \underset{1 \times (k + 2)}{0} & t r (H^{*}) / σ^{* 2} & 0 \end{array}], \\ Ω_{1, N T} & = \frac{κ_{4}^{*} - 3 σ^{* 4}}{N σ^{* 4}} [\begin{array}{cccc} t r ({\ddot{G}}^{*} \circ {\ddot{G}}^{*}) & 0 & t r ({\ddot{G}}^{*} \circ H^{*}) & t r (G^{*}) / (2 σ^{* 2}) \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ t r (H^{*} \circ {\ddot{G}}^{*}) & 0 & t r (H^{*} \circ H^{*}) & t r (H^{*}) / (2 σ^{* 2}) \\ t r (G^{*}) / (2 σ^{* 2}) & 0 & t r (H^{*}) / (2 σ^{* 2}) & N (4 σ^{* 4})^{- 1} \end{array}], \end{aligned}

其中

X_{t} = [Y_{t - 1}, {W Y}_{t - 1}, X_{t}]

G^{*} = W D^{* - 1}

{\ddot{G}}^{*} = S^{*} G^{*} S^{* - 1}

H^{*} = M S^{* - 1}

H^{s *} = H^{*} + H^{*'}

κ_{4}^{*} = E (e_{i t}^{4})

. 另外, "

\circ

" 表示哈德马乘积(hadamard product).

定理2 在假设A

\sim

G成立的条件下, 当

N, T \to \infty, N / T^{3} \to 0

, 有:

\sqrt{N \bar{T}} (\hat{θ} - θ^{*} + \frac{1}{\bar{T}} Ω_{0, N T}^{- 1} Δ_{N}) \overset{d}{\to} N (0, Ω_{0}^{- 1} (Ω_{0} + Ω_{1}) Ω_{0}^{- 1}),

其中

Ω_{0} = lim_{N, T \to \infty} Ω_{0, N T}

和

Ω_{1} = lim_{N, T \to \infty} Ω_{1, N T}

上面偏倚和渐近方差的估计可以使用插入式估计法, 见下一节关于该方法的详细说明. 该方法的正确性是由极大似然估计量的一致性和连续映射定理保证的.

4 冲击响应及其渐近性质

本节考察动态模型的冲击响应函数. 本节分析的实质是将自回归模型逆转成移动平均模型, 然后考察对应系数的估计. 考察第二节中的模型, 其可以简写成:

D^{*} Y_{t} = μ^{*} + R^{*} Y_{t - 1} + X_{t} β^{*} + S^{* - 1} e_{t} .

记

L

为滞后算子, 则上式可以写成

(D^{*} - R^{*} L) Y_{t} = μ^{*} + X_{t} β^{*} + S^{* - 1} e_{t}

. 令

F^{*} (L) = D^{*} - R^{*} L

, 如果

F^{*} (L)

可逆, 有:

Y_{t} = F^{*} (L)^{- 1} μ^{*} + F^{*} (L)^{- 1} X_{t} β^{*} + F^{*} (L)^{- 1} S^{* - 1} e_{t} = D^{* - 1} μ^{*} + \sum_{v = 0}^{\infty} B_{v}^{*} X_{t - v} β^{*} + \sum_{v = 0}^{\infty} B_{v}^{*} S^{* - 1} e_{t - v},

其中

D^{*} = D^{*} - R^{*}

. 注意到

F^{*} (L)^{- 1} = [\sum_{v = 0}^{\infty} (D^{* - 1} R^{*})^{v} L^{v}] D^{* - 1}

, 因此有

B_{τ}^{*} = (D^{* - 1} R^{*})^{τ} D^{* - 1}

. 这样在其他值不变的前提下, 第

j

个个体发生一个单位的扰动, 经过

τ

期之后对第

i

个个体的影响是:

\frac{\partial Y_{i, s + τ}}{\partial e_{j, s}} = (B_{τ}^{*} S^{* - 1})_{i j},

其中

(B_{τ}^{*} S^{* - 1})_{i j}

是

B_{τ}^{*} S^{* - 1}

的第

(i, j)

个元素. 类似的, 第

j

个个体的第

l

个解释变量发生额外的一个单位增加, 经过

τ

期之后对第

i

个个体的影响是:

\frac{\partial Y_{i, s + τ}}{\partial X_{j l, s}} = B_{i j, τ}^{*} β_{l}^{*} .

以上脉冲参数的定义直接借鉴于向量自回归模型, 但是该定义依赖空间个体

i

和

j

. 不同于向量自回归模型里变量的个数是有限的, 空间模型里个体的数量是趋于无穷的. 这样, 即使在给定

τ

下, 我们仍会有非常多组脉冲参数, 这会导致其经济学含义比较弱. 为此, 遵循(LeSage and Pace (2009), Li (2017))的处理思路, 我们这里引入平均直接效应(ADI)、平均间接效应(AII)和平均总效应(ATI). 对于第

l

个解释变量, 三种效应经过

τ

期之后, 其值被定义为:

{A D I}_{τ, l} = \frac{1}{N} t r (B_{τ}^{*}) β_{l}^{*}, {A I I}_{τ, l} = \frac{1}{N} [ι_{N}^{'} B_{τ}^{*} ι_{N} - t r (B_{τ}^{*})] β_{l}^{*}, {A T I}_{τ, l} = \frac{1}{N} ι_{N}^{'} B_{τ}^{*} ι_{N} β_{l}^{*},

其中,

ι_{N}

表示所有元素都是1的

N

维列向量. 直观上讲,

{A D I}_{τ, l}

度量了第

l

个解释变量发生一单位增加, 经过

τ

期之后, 发生变化的个体对自身被解释变量影响的均值.

{A I I}_{τ, l}

度量了第

l

个解释变量发生一单位增加, 经过

τ

期之后, 发生变化的个体对其他被解释变量影响的均值.

{A T I}_{τ, l}

度量了第

l

个解释变量发生一单位增加, 经过

τ

期之后, 发生变化的个体对所有被解释变量影响的均值. 对于扰动项, 我们也做类似的定义:

{A D I}_{τ, e} = \frac{1}{N} t r (B_{τ}^{*} S^{* - 1}), {A I I}_{τ, e} = \frac{1}{N} [ι_{N}^{'} B_{τ}^{*} S^{* - 1} ι_{N} - t r (B_{τ}^{*} S^{* - 1})], {A T I}_{τ, e} = \frac{1}{N} ι_{N}^{'} B_{τ}^{*} S^{* - 1} ι_{N} .

在向量自回归模型中, 我们常常关心脉冲的累积影响. 受这一分析的启发, 我们再引入累积平均直接效应(AADI)、累积平均间接效应(AAII)和累积平均总效应(AATI), 三个累积值的定义为对应值在时间上的和. 具体地,

\begin{aligned} {A A D I}_{l} & = \frac{1}{N} \sum_{τ = 0}^{\infty} t r (B_{τ}^{*}) β_{l}^{*}, {A A I I}_{l} = \frac{1}{N} \sum_{τ = 0}^{\infty} [ι_{N}^{'} B_{τ}^{*} ι_{N} - t r (B_{τ}^{*})] β_{l}^{*}, {A A T I}_{l} = \frac{1}{N} \sum_{τ = 0}^{\infty} ι_{N}^{'} B_{τ}^{*} ι_{N} β_{l}^{*}, \\ {A A D I}_{e} & = \frac{1}{N} \sum_{τ = 0}^{\infty} t r (B_{τ}^{*} S^{* - 1}), {A A I I}_{e} = \frac{1}{N} \sum_{τ = 0}^{\infty} [ι_{N}^{'} B_{τ}^{*} S^{* - 1} ι_{N} - t r (B_{τ}^{*} S^{* - 1})], \\ {A A T I}_{e} & = \frac{1}{N} \sum_{τ = 0}^{\infty} ι_{N}^{'} B_{τ}^{*} S^{* - 1} ι_{N} . \end{aligned}

上面累积值的计算可以进一步简化, 这是因为

\sum_{τ = 0}^{\infty} B_{τ}^{*} = D^{* - 1}

. 在下面各个效应值的估计中, 我们会用要到这一等式, 这对于简化渐近分析非常有帮助.

以上, 我们讨论了各个效应的定义. 对于这些效应的估计, 则可以采用插入式估计法(Plug-in method), 即将各个效应视为观测到参数和未知参数的函数, 估计时将函数中的未知参数, 用经过偏误矫正的极大似然估计量来替代. 具体地, 我们用

\hat{D} = I_{N} - \tilde{ρ} M

来估计

D^{*}

; 用

\hat{S} = I_{N} - \tilde{λ} W

来估计

S^{*}

; 用

\hat{R} = \tilde{ϱ} I_{N} + \tilde{γ} W

来估计

R^{*} = ϱ^{*} I_{N} + γ^{*} W

; 用

{\hat{B}}_{v} = ({\hat{D}}^{- 1} \hat{R})^{v} {\hat{D}}^{- 1}

来估计

B_{v}

; 用

\hat{D} = \hat{D} - \hat{R}

来估计

D^{*} = D^{*} - R^{*}

等, 这里带波浪的符号表示的是经过矫正的极大似然估计量, 以区别带帽的原始极大似然估计量.

为了陈述的方便, 我们引入如下符号. 定义

e_{l}

是

(k + 5)

维单位矩阵的第

l

列, 定义

(k + 5)

维向量

A_{N}

和

B_{N}

为:

\begin{aligned} A_{N} & = \frac{1}{N} [t r (a_{τ}), t r (b_{τ}), t r (c_{τ}), 0_{1 \times (k + 2)}]^{'}, B_{N} = \frac{1}{N} [ι_{N}^{'} a_{τ} ι_{N}, ι_{N}^{'} b_{τ} ι_{N}, ι_{N}^{'} c_{τ} ι_{N}, 0_{1 \times (k + 2)}]^{'}, \\ C_{N} & = \frac{1}{N} [t r (a_{τ} S^{* - 1}), t r (b_{τ} S^{* - 1}), t r (c_{τ} S^{* - 1}), 0_{1 \times (k + 2)}]^{'}, \\ D_{N} & = \frac{1}{N} [ι_{N}^{'} a_{τ} S^{* - 1} ι_{N}, ι_{N}^{'} b_{τ} S^{* - 1} ι_{N}, ι_{N}^{'} c_{τ} S^{* - 1} ι_{N}, 0_{1 \times (k + 2)}]^{'}, \end{aligned}

其中

\begin{aligned} a_{τ} & = \sum_{ν = 0}^{τ - 1} (D^{* - 1} R^{*})^{ν} D^{* - 1} W (D^{* - 1} R^{*})^{τ - ν} D^{* - 1} + B_{τ}^{*} G^{*}, \\ b_{τ} & = \sum_{ν = 0}^{τ - 1} (D^{* - 1} R^{*})^{ν} D^{* - 1} (D^{* - 1} R^{*})^{τ - ν - 1} D^{* - 1}, c_{τ} = \sum_{ν = 0}^{τ - 1} (D^{* - 1} R^{*})^{ν} D^{* - 1} W (D^{* - 1} R^{*})^{τ - ν - 1} D^{* - 1} . \end{aligned}

推论1 在假设A

\sim

G成立的条件下, 当

N, T \to \infty, N / T^{3} \to 0

, 我们有

\begin{aligned} \sqrt{N \bar{T}} ({\hat{A D I}}_{τ, p} - {A D I}_{τ, p}) \overset{d}{\to} N (0, {\bar{v}}_{τ, p}^{d^{'}} Ω_{0}^{- 1} (Ω_{0} + Ω_{1}) Ω_{0}^{- 1} {\bar{v}}_{τ, p}^{d}), \\ \sqrt{N \bar{T}} ({\hat{A I I}}_{τ, p} - {A I I}_{τ, p}) \overset{d}{\to} N (0, {\bar{v}}_{τ, p}^{i^{'}} Ω_{0}^{- 1} (Ω_{0} + Ω_{1}) Ω_{0}^{- 1} {\bar{v}}_{τ, p}^{i}), \\ \sqrt{N \bar{T}} ({\hat{A T I}}_{τ, p} - {A T I}_{τ, p}) \overset{d}{\to} N (0, {\bar{v}}_{τ, p}^{t^{'}} Ω_{0}^{- 1} (Ω_{0} + Ω_{1}) Ω_{0}^{- 1} {\bar{v}}_{τ, p}^{t}), \end{aligned}

其中对于

a = d, i, t

以及

p = 1, \dots, k

和

e

{\bar{v}}_{τ, p}^{a}

的定义是

{\bar{v}}_{τ, p}^{a} = lim_{N \to \infty} v_{τ, p}^{a}

. 这里, 对于

p = 1, 2, \dots, k

, 有

v_{τ, p}^{d} = β_{p} A_{N} + \frac{1}{N} (B_{τ}^{*}) e_{p + 3}

;

v_{τ, p}^{t} = β_{p} B_{N} + \frac{1}{N} ι_{N}^{'} B_{τ}^{*} ι_{N} e_{p + 3}

;

v_{τ, p}^{i} = v_{τ, p}^{t} - v_{τ, p}^{d}

. 对于

p = e

, 有

v_{τ, e}^{d} = C_{N} + \frac{1}{N} (B_{τ}^{*} S^{* - 1} H^{*}) e_{k + 4}

;

v_{τ, e}^{t} = D_{N} + \frac{1}{N} ι_{N}^{'} B_{τ}^{*} S^{* - 1} H^{*} ι_{N} e_{k + 4}

;

v_{τ, e}^{i} = v_{τ, e}^{t} - v_{τ, e}^{d}

进一步我们定义

\begin{aligned} E_{N} & = \frac{1}{N} [t r (D^{* - 1} W D^{* - 1}), t r (D^{* - 2}), t r (D^{* - 1} W D^{* - 1}), 0_{1 \times (k + 2)}]^{'}, \\ F_{N} & = \frac{1}{N} [ι_{N}^{'} D^{* - 1} W D^{* - 1} ι_{N}, ι_{N}^{'} D^{* - 2} ι_{N}, ι_{N}^{'} D^{* - 1} W D^{* - 1} ι_{N}, 0_{1 \times (k + 2)}]^{'}, \\ G_{N} & = \frac{1}{N} [t r (D^{* - 1} W D^{* - 1} S^{* - 1}), t r (D^{* - 2} S^{* - 1}), t r (D^{* - 1} W D^{* - 1} S^{* - 1}), 0_{1 \times (k + 2)}]^{'}, \\ H_{N} & = \frac{1}{N} [ι_{N}^{'} D^{* - 1} W D^{* - 1} S^{* - 1} ι_{N}, ι_{N}^{'} D^{* - 2} S^{* - 1} ι_{N}, ι_{N}^{'} D^{* - 1} W D^{* - 1} S^{* - 1} ι_{N}, 0_{1 \times (k + 2)}]^{'} . \end{aligned}

推论2 在假设A

\sim

G成立的条件下, 当

N, T \to \infty, N / T^{3} \to 0

, 我们可以得到

\begin{aligned} \sqrt{N \bar{T}} ({\hat{A A D I}}_{p} - {A A D I}_{p}) \overset{d}{\to} N (0, {\bar{v}}_{p}^{d^{'}} Ω_{0}^{- 1} (Ω_{0} + Ω_{1}) Ω_{0}^{- 1} {\bar{v}}_{p}^{d}), \\ \sqrt{N \bar{T}} ({\hat{A A I I}}_{p} - {A A I I}_{p}) \overset{d}{\to} N (0, {\bar{v}}_{p}^{i^{'}} Ω_{0}^{- 1} (Ω_{0} + Ω_{1}) Ω_{0}^{- 1} {\bar{v}}_{p}^{i}), \\ \sqrt{N \bar{T}} ({\hat{A A T I}}_{p} - {A A T I}_{p}) \overset{d}{\to} N (0, {\bar{v}}_{p}^{t^{'}} Ω_{0}^{- 1} (Ω_{0} + Ω_{1}) Ω_{0}^{- 1} {\bar{v}}_{p}^{t}), \end{aligned}

其中对于

a = d, i, t

以及

p = 1, \dots, k

和

e

{\bar{v}}_{p}^{a}

的定义是

{\bar{v}}_{p}^{a} = lim_{N \to \infty} v_{p}^{a}

. 这里, 对于

p = 1, 2, \dots, k

, 有

v_{p}^{d} = β_{p} E_{N} + \frac{1}{N} (D^{* - 1}) e_{p + 3}

;

v_{p}^{t} = β_{p} F_{N} + \frac{1}{N} ι_{N}^{'} D^{* - 1} ι_{N} e_{p + 3}

;

v_{p}^{i} = v_{p}^{t} - v_{p}^{d}

. 对于

p = e

, 有

v_{e}^{d} = G_{N} + \frac{1}{N} (D^{* - 1} S^{* - 1} H^{*}) e_{k + 4}

;

v_{e}^{t} = H_{N} + \frac{1}{N} ι_{N}^{'} D^{* - 1} S^{* - 1} H^{*} ι_{N} e_{k + 4}

;

v_{e}^{i} = v_{e}^{t} - v_{e}^{d}

5 有限样本性质

本节通过运行模拟实验来检查极大似然估计量的有限样本性质. 我们考察只有一个外生解释变量的模型, 参数

θ

的设定是

θ = (λ, ϱ, γ, β, ρ, σ^{2})^{'} = (0.3, 0.2, 0.1, 1, 0.4, 0.25)^{'}

. 空间权重矩阵根据Kelejian and Prucha (1999) "

q

前和

q

后"的方法生成. 按照空间计量的惯例, 我们将各行元素之和正规化为1. 在模拟中,

W

矩阵和

M

矩阵是同一"

q

前和

q

后"权重矩阵. 解释变量

x_{i t}

和斜率

μ_{i}

抽样自标准正态分布. 随机扰动项

e_{i t}

来自标准化的自由度为3的卡方分布, 即

[χ^{2} (3) - 3] / \sqrt{6}

. 一旦生成了

x_{i t}

e_{i t}

和

μ_{i}

, 我们根据下式:

Y_{t} = (I_{N} - λ W)^{- 1} (μ + ϱ Y_{t - 1} + γ W Y_{t - 1} + X_{t} β + S^{- 1} e_{t}) .

生产

Y_{t}

, 其中如果

t \leq 0

, 则

Y_{t} = 0

. 为了消除初始值的影响, 我们额外生成了500个观测值并将其扔掉. 在模拟实验中, 我们用估计量的偏倚(bias)和均方根误(root mean square error, RMSE)以及经过样本矫正的均方根误(sample size adjusted RMSE, SRMSE) 作为估计量表现的衡量指标. 理论上讲, 如果前面的理论是正确的, 则样本矫正的均方根误大致是一样的.

5.1 极大似然估计量的表现

表 1展示了

N = 50, 75, 100

和

T = 50, 75, 100

的样本组合下, 极大似然估计量的表现. 表中的结果是在1000次实验中得到的. 从表 1我们可以看到, 随着样本量的增加, 偏误和均方根误都是下降的, 这意味着极大似然估计是一致的. 另外, 表 1偏倚校正前的结果显示, 偏倚对参数

ϱ

和

σ^{2}

影响较大, 其偏倚和均方根误的比值在部分样本下, 会超过0.5. 但是经过偏倚校正后, 结果得到了明显的改善, 这意味着我们的偏倚校正公式得到了模拟实验的支持. 另外, 我们看到经过样本矫正的均方根误几乎是个常数, 这也一定程度上证实了理论结果的正确性.

表1 极大似然估计量的有限样本表现极大似然估计量的有限样本表现

偏倚校正之前的表现
$N$	$T$	$λ$			$ϱ$			$γ$
$N$	$T$	Bias	RMSE	SRMSE	Bias	RMSE	SRMSE	Bias	RMSE	SRMSE
50	50	-0.0004	0.0159	0.7950	-0.0057	0.0104	0.5200	-0.0019	0.0130	0.6500
75	50	-0.0003	0.0126	0.7716	-0.0052	0.0088	0.5389	-0.0027	0.0107	0.6552
100	50	-0.0006	0.0111	0.7778	-0.0053	0.0082	0.5798	-0.0026	0.0092	0.6505
50	75	-0.0010	0.0124	0.7593	-0.0033	0.0079	0.4838	-0.0014	0.0107	0.6552
75	75	0.0000	0.0102	0.7650	-0.0038	0.0072	0.5400	-0.0018	0.0089	0.6675
100	75	0.0001	0.0095	0.8227	-0.0036	0.0063	0.5456	-0.0016	0.0077	0.6668
50	100	-0.0008	0.0114	0.8061	-0.0029	0.0068	0.4808	-0.0012	0.0090	0.6364
75	100	-0.0002	0.0088	0.7621	-0.0028	0.0059	0.5110	-0.0012	0.0074	0.6409
100	100	0.0000	0.0077	0.7700	-0.0025	0.0050	0.5000	-0.0014	0.0067	0.6700
$N$	$T$	$β$			$ρ$			$σ^{2}$
$N$	$T$	Bias	RMSE	SRMSE	Bias	RMSE	SRMSE	Bias	RMSE	SRMSE
50	50	-0.0013	0.0109	0.5450	-0.0002	0.0229	1.1450	-0.0053	0.0153	0.7650
75	50	-0.0007	0.0085	0.5205	-0.0001	0.0198	1.2125	-0.0053	0.0129	0.7900
100	50	-0.0007	0.0074	0.5233	0.0000	0.0160	1.1314	-0.0054	0.0115	0.8132
50	75	-0.0009	0.0085	0.5205	0.0010	0.0179	1.0961	-0.0034	0.0122	0.7471
75	75	0.0000	0.0068	0.5100	-0.0001	0.0151	1.1325	-0.0036	0.0101	0.7575
100	75	0.0002	0.0064	0.5543	-0.0001	0.0136	1.1778	-0.0039	0.0091	0.7881
50	100	0.0001	0.0070	0.4950	0.0009	0.0164	1.1597	-0.0027	0.0103	0.7283
75	100	0.0000	0.0059	0.5110	0.0006	0.0130	1.1258	-0.0025	0.0085	0.7361
100	100	0.0001	0.0050	0.5000	-0.0002	0.0113	1.1300	-0.0023	0.0075	0.7500
偏倚校正之后的表现
$N$	$T$	$λ$			$ϱ$			$γ$
$N$	$T$	Bias	RMSE	SRMSE	Bias	RMSE	SRMSE	Bias	RMSE	SRMSE
50	50	-0.0001	0.0158	0.7900	-0.0003	0.0088	0.4400	0.0007	0.0131	0.6550
75	50	-0.0001	0.0126	0.7716	0.0002	0.0072	0.4409	-0.0001	0.0105	0.6430
100	50	-0.0004	0.0109	0.7707	0.0001	0.0063	0.4455	0.0000	0.0089	0.6293
50	75	-0.0008	0.0124	0.7593	0.0003	0.0072	0.4409	0.0003	0.0107	0.6552
75	75	0.0001	0.0102	0.7650	-0.0002	0.0061	0.4575	-0.0002	0.0087	0.6525
100	75	0.0002	0.0095	0.8227	-0.0001	0.0052	0.4503	0.0000	0.0076	0.6582
50	100	-0.0007	0.0114	0.8061	-0.0003	0.0062	0.4384	0.0000	0.0090	0.6364
75	100	-0.0002	0.0088	0.7621	-0.0002	0.0051	0.4417	0.0001	0.0074	0.6409
100	100	0.0000	0.0077	0.7700	0.0001	0.0043	0.4300	-0.0002	0.0066	0.6600
$N$	$T$	$β$			$ρ$			$σ^{2}$
$N$	$T$	Bias	RMSE	SRMSE	Bias	RMSE	SRMSE	Bias	RMSE	SRMSE
50	50	-0.0012	0.0109	0.5450	-0.0005	0.0229	1.1450	-0.0003	0.0146	0.7300
75	50	-0.0005	0.0085	0.5205	-0.0003	0.0198	1.2125	-0.0003	0.0120	0.7348
100	50	0.0006	0.0074	0.5233	-0.0003	0.0160	1.1314	-0.0004	0.0104	0.7354
50	75	-0.0008	0.0084	0.5144	0.0009	0.0179	1.0961	0.0000	0.0119	0.7287
75	75	0.0000	0.0068	0.5100	-0.0002	0.0151	1.1325	-0.0003	0.0096	0.7200
100	75	0.0003	0.0064	0.5543	-0.0002	0.0136	1.1778	-0.0006	0.0084	0.7275
50	100	0.0001	0.0070	0.4950	0.0008	0.0164	1.1597	-0.0002	0.0101	0.7142
75	100	0.0000	0.0059	0.5110	0.0005	0.0130	1.1258	0.0000	0.0082	0.7101
100	100	0.0001	0.0050	0.5000	-0.0003	0.0112	1.1200	0.0002	0.0072	0.7200

我们进一步考察了相同数据下, 估计量

t

检验的表现, 并将结果报告在表 2中.

t

检验的结果回应了表 1的结果: 如果不经过偏倚校正,

ϱ

和

σ^{2}

的

t

统计量会有比较大的尺度扭曲. 以

ϱ

参数为例, 在

N = 100

T = 50

的样本中, 5%的名义显著性水平实际是14%, 尺度扭曲较为严重. 经过偏倚校正后, 检验尺度回归到合理水平, 由14%降为4.6%, 已经非常接近名义的5%.

表2 5%名义显著性水平下的实际(经验)显著性水平

N	T	λ	$ϱ$	γ	β	ρ	σ²
偏倚校之前的表现
50	50	6.7%	10.3%	5.5%	6.1%	5.5%	10.2%
75	50	5.1%	11.4%	4.9%	4.5%	7.2%	11.3%
100	50	4.9%	14.0%	5.6%	5.5%	5.8%	11.6%
50	75	4.2%	6.3%	5.9%	4.5%	4.3%	8.9%
75	75	5.3%	10.9%	6.6%	5.4%	5.4%	8.9%
100	75	7.4%	12.1%	6.4%	7.5%	6.0%	9.8%
50	100	6.4%	7.2%	5.1%	4.2%	6.2%	7.6%
5	100	3.9%	8.9%	4.3%	4.6%	4.9%	7.4%
100	100	5.1%	9.5%	7.0%	4.1%	5.3%	7.6%
偏倚校之后的表现
50	50	6.7%	5.6%	5.6%	6.2%	5.4%	7.0%
75	50	5.3%	4.9%	4.7%	4.4%	7.2%	6.1%
100	50	5.3%	4.6%	4.9%	5.5%	5.8%	6.8%
50	75	4.4%	4.6%	6.0%	4.6%	4.4%	6.3%
75	75	5.3%	5.9%	5.8%	5.4%	5.4%	6.9%
100	75	7.3%	5.8%	7.2%	7.4%	5.8%	6.1%
50	100	6.4%	4.9%	5.0%	4.2%	6.3%	5.3%
75	100	3.7%	5.5%	4.7%	4.5%	4.9%	5.3%
100	100	5.2%	5.4%	6.4%	4.0%	5.3%	7.6%

5.2 冲击响应

我们接着考察脉冲响应函数估计量的小样本表现. 脉冲函数的评价方式遵循Li (2017)的方法, 即在每一次模拟实验和每一期中基于真实参数计算冲击响应值和基于极大似然估计量(QMLE)的95%的置信区间(以1.96作为临界值构建置信区间). 如果真实冲击值落入估计的置信区间中, 则点数增加1, 否则为0. 接着, 我们计算总点数和重复次数之比, 如果估计量表现好, 这个比率应该接近0.95.和上面一样, 我们将重复次数设定为1000次.

表 3报告了单位扰动项改变导致的冲击响应和单位自变量改变导致的冲击响应的表现, 我们计算了冲击第0期、第1期直到第9期各个样本下实际的比率值. 总的来看, 脉冲函数的表现符合我们的预期. 特别是在样本

N = 100, T = 100

的情形下, 所有的比率值都在

[0.945, 0.952]

区间里, 非常接近理论值0.95, 显示出脉冲响应估计量良好的有限样本表现.

表3 脉冲响应函数95%名义显著性水平下的实际(经验)显著性水平

N	T	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
单位扰动项改变导致的冲击响应表现
50	50	0.943	0.946	0.944	0.941	0.935	0.937	0.937	0.932	0.928	0.922
75	50	0.928	0.942	0.943	0.942	0.938	0.938	0.938	0.936	0.934	0.926
100	50	0.934	0.945	0.951	0.952	0.956	0.955	0.947	0.945	0.943	0.940
50	75	0.959	0.945	0.936	0.938	0.936	0.936	0.940	0.939	0.934	0.929
75	75	0.952	0.942	0.944	0.943	0.940	0.941	0.946	0.944	0.940	0.935
100	75	0.949	0.931	0.932	0.933	0.932	0.931	0.930	0.928	0.929	0.925
50	100	0.946	0.945	0.948	0.948	0.940	0.939	0.932	0.934	0.927	0.923
75	100	0.958	0.950	0.951	0.948	0.950	0.946	0.945	0.940	0.938	0.936
100	100	0.952	0.947	0.949	0.948	0.945	0.947	0.947	0.947	0.947	0.948
单位自变量改变导致的冲击响应表现
50	50	0.937	0.941	0.944	0.945	0.941	0.930	0.934	0.930	0.927	0.921
75	50	0.952	0.953	0.949	0.947	0.943	0.938	0.932	0.935	0.934	0.926
100	50	0.946	0.961	0.953	0.954	0.955	0.949	0.949	0.943	0.940	0.938
50	75	0.958	0.940	0.943	0.941	0.938	0.935	0.939	0.938	0.933	0.929
75	75	0.954	0.955	0.951	0.946	0.946	0.949	0.947	0.945	0.943	0.936
100	75	0.927	0.929	0.927	0.931	0.932	0.932	0.930	0.934	0.933	0.933
50	100	0.943	0.952	0.949	0.943	0.941	0.940	0.936	0.934	0.930	0.924
75	100	0.963	0.953	0.949	0.951	0.947	0.944	0.943	0.941	0.935	0.935
100	100	0.945	0.950	0.951	0.950	0.952	0.946	0.945	0.946	0.948	0.947

6 应用研究

本节将新的计量工具应用到中国区域经济增长的研究中. 中国经济在过去40年时间里, 保持持续高速增长, 取得了举世瞩目的成就. 总结中国式经济增长的经验, 是学术界最为关心的课题之一. 目前学术界对中国经济增长的研究已经有了海量的文献, 并形成了众多有影响力的成果, 其中包括但不限于蔡昉和都阳(2000), 林毅夫和刘培林(2003), 林毅夫和刘明兴(2003), 王小鲁和樊纲(2004), 龚六堂和谢丹阳(2004)等. 很多研究发现, 溢出效应在经济增长、金融传导中扮演了重要角色(吕忠伟(2008), 陆铭和陈钊(2009), 潘文卿(2012), 李红权, 洪永淼和汪寿阳(2011)). 空间计量模型为研究这一特定的机制, 提供了有力的分析工具(朱国忠, 乔坤元和虞吉海(2014)). 本文将重点考察人力资本对经济增长的贡献以及空间的溢出特征. 近期的一些相关研究包括Bucci, Eraydin and Müller (2019), Diebolt and Hippe (2019), 徐秋艳等(2019), 邓飞和柯文进(2020)等. 与现有的文献相比, 我们使用了动态双重空间自回归模型来研究这一问题, 以往的研究则大多是静态分析, 另外本节提供的脉冲分析是以往文献所没有的.

6.1 计量模型的设定

本节的计量模型是:

\begin{aligned} {G D P}_{t} & = μ + λ W * {G D P}_{t} + ϱ {G D P}_{t - 1} + γ W * {G D P}_{t - 1} + β_{1} {H C a p i t a l}_{t} + β_{2} {I n v}_{t} + \\ β_{3} {O p e n}_{t} + β_{4} {F D I}_{t} + β_{5} {U r b a n}_{t} + U_{t}, \end{aligned}

其中

U_{t}

的设定和第二节一样是一个空间自回归结构. 误差项引入空间自回归结构, 不仅可以捕捉到邻近地区不可观察因素对本地区的影响, 而且还可以减轻异方差对标准误的影响(Romero and Burkey (2011)). 被解释变量是各地当年的人均GDP². 解释变量包括: 人力资本(HCapital), 采用劳动人口的平均受教育年限来度量; 投资(Inv), 采用人均资本存量, 资本存量采用通用的永续盘存法计算; 对外开放度(Open), 采用进出口总额与GDP比值来度量; 外商直接投资(FDI), 外商直接投资采用外商直接投资额与GDP比值来度量; 城市化(Urban), 采用城镇人口占总人口比重来度量. 本文关注变量是人力资本, 控制变量是投资、对外开放度、外商直接投资和城市化. 空间权重矩阵

W

和

M

选择的是相同的邻接权重矩阵, 即两个省份若是接壤则对应元素取为1、否则为0, 然后将得到的权重矩阵进行行正规化处理.

μ

是省份固定效应, 反映区域差异等不可观测的不变因素对人均GDP的影响.

²有些研究会将人均GDP取对数处理, 这一方面可以缓解异方差, 另一方面可以将系数解释为弹性. 如前面所强调的, 在误差项引入空间自相关结构已经能很大程度捕捉异方差.

在上面的模型中, 我们可以计算广义收敛系数. 在没有空间项的模型里, 其收敛系数由

ϱ - 1

给出, 它等于

{G D P}_{t}

对

{G D P}_{t - 1}

的偏导. 我们可以将这一思路推广到更一般的空间计量模型中. 特别地, 第一步把模型改写成:

\begin{aligned} {G D P}_{t} & = D^{- 1} μ_{t} + D^{- 1} (ϱ I + γ W) {G D P}_{t - 1} + β_{1} D^{- 1} {H C a p i t a l}_{t} + β_{2} D^{- 1} {I n v}_{t} + \\ β_{3} D^{- 1} {O p e n}_{t} + β_{4} D^{- 1} {F D I}_{t} + β_{5} D^{- 1} {U r b a n}_{t} + D^{- 1} U_{t} . \end{aligned}

这里

D = I_{N} - λ W

. 上式对

Y_{t - 1}

求偏导, 得到

D^{- 1} (ϱ I + γ W)

, 依据Arbia et al. (2010)的思想, 得到广义收敛系数(GCC):

G C C = (1 + λ) ϱ + γ - 1.

6.2 数据

本文选取1996年到2014年我国31个省、直辖市和自治区(不包括香港、澳门特别行政区和台湾省)的省份数据, 其中人力资本采用劳均受教育年限来度量, 数据来源于《中国劳动统计年鉴1997–2015》其中文盲受教育年限为0年, 小学为6年, 初中为9年, 高中为12年, 大学及以上为17年. 总产出是用支出法衡量的国内生产总值, 换算为以1996年为基期的实际值. GDP和人口数据来源于历年《中国统计年鉴》. 投资数据来自于《中国固定资产投资统计年鉴》. 进出口总额数据来源于历年《中国统计年鉴》. 外商直接投资额数据来源于历年《中国统计年鉴》. 城镇人口和总人口数据来源于历年《中国统计年鉴》.

6.3 实证结果

首先进行空间相关性检验, 以确定是否需要使用空间计量模型. 在进行空间相关性检验时, 使用Moran's

I

指数进行全局检验. Moran's

I

值大于0时、小于0和等于0分别代表空间正相关、负相关和空间独立; 取值越接近于1, 表示相关性越强, 空间聚集性越明显. 检验表达式如下:

M o r a n^{'} s I = \sum_{i = 1}^{N} \sum_{j = 1}^{N} W_{i j} (x_{i} - \bar{x}) (x_{j} - \bar{x}) / s^{2} \sum_{i = 1}^{N} \sum_{j = 1}^{N} W_{i j},

其中,

s^{2} = \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} (x_{i} - \bar{x})^{2}

\bar{x} = \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} x_{i}

x_{i}

和

N

分别表示空间单元的观测值和数量,

W_{i j}

代表空间权重矩阵的元素. 根据这一公式Moran's

I

指数1996年到2014年的结果在表 4给出.

表4 区域收入差距的Moran's I指数

年	Moran's I	z值	p值	年	Moran's I	z值	p值
1996	0.377	3.472	0.00	2006	0.419	3.833	0.00
1997	0.369	3.406	0.00	2007	0.416	3.803	0.00
1998	0.362	3.349	0.00	2008	0.421	3.843	0.00
1999	0.360	3.329	0.00	2009	0.404	3.698	0.00
2000	0.374	3.448	0.00	2010	0.437	3.978	0.00
2001	0.373	3.441	0.00	2011	0.435	3.967	0.00
2002	0.381	3.508	0.00	2012	0.423	3.867	0.00
2003	0.402	3.684	0.00	2013	0.412	3.773	0.00
2004	0.406	3.721	0.00	2014	0.397	3.643	0.00
2005	0.417	3.812	0.00	-	-	-	-

从表 4可以看到, 在邻接空间权重矩阵下, 各区域的Moran's

I

指数均为正值, 且均通过了显著性检验, 这说明我国各省份区域经济均呈现显著的空间正相关, 即经济发展在经济发展水平较高和经济发展水平较低的区域相对聚集. 时间上来看, 从1996年到1999年Moran's

I

指数呈现轻微下降的趋势, 而从2000年开始, Moran's

I

指数总体呈现逐年上升的趋势, 但在2014年Moran's

I

指数又有下降.

表 5给出了动态双重空间自相关模型的估计结果. 可以看到: 首先, 部分系数的估计量在经过校正之后发生了比较大的变化, 比如人力资本的系数从0.0124增加到0.0307; 其次面城市化的系数, 甚至在校正之后从正值不显著变成了负值显著. 这些结果说明系数的偏倚对结果有较大的影响, 需要认真考虑偏倚的问题. 表 5的结果显示: 人力资本、投资、对外开放对区域经济的增长有着明显的正向影响, FDI则影响不显著, 城市化对区域经济的影响则是负的. 整个估计的系数基本上与现有文献的认识一致. 比如城市化对区域经济的影响, 范子英和张军, (2009)就发现对经济增长的影响是负的. 根据模型参数的估计结果, 求得广义收敛系数GCC为-0.0932, 标准差是0.0123 (

t

值为

-

7.5531), 在1%水平上显著. 广义收敛系数的估计结果意味着, 样本期内中国区域经济呈现出条件收敛. 本文的结果, 与朱国忠、乔坤元和虞吉海(2014)的发现有所不同, 可能的原因是他们的模型没有考虑到误差项的空间结构, 也可能是其他实证方面的因素, 比如样本期的跨度不同、选择的控制变量不同等. 另外, 估计结果显示, 误差的自回归系数为负, 且通过了1% 的显著性检验, 这意味着需要在模型里引入这种空间相关性.

表5 人力资本对区域经济差距的估计结果

变量	系数		变量	系数
变量	校正前	校正后	变量	校正前	校正后
W*GDP	0.9012*** (42.33)	0.9081*** (42.66)	Open	0.0227* (1.74)	0.0517*** (3.97)
GDP_-1	1.049*** (112.61)	0.9672*** (103.79)	FDI	-0.0106 (-0.46)	0.0305 (1.33)
W*GDP_-1	-0.9712*** (-36.64)	-0.9386*** (-35.41)	Urban	0.0865 (1.35)	-0.1983*** (-3.09)
HCapital	0.0124*** (3.08)	0.0307*** (9.10)	$ρ$	-1.027*** (-13.12)	-1.0396*** (-13.28)
Inv	0.0057** (2.01)	0.0167*** (4.97)	$σ^{2}$	0.0050*** (3.46)	0.0052*** (3.59)

注: 括号内是

t

统计量,

*

、

* *

、

* * *

分别表示10%、5%和1%的显著性水平. 参数

ρ

是扰动项

U_{t} = ρ {M U}_{t} + e_{t}

中的自回归参数,

σ_{2}

是

e_{i t}

的方差.

接着我们转入脉冲分析. 本文关注的是人力资本与人均GDP的关系, 所以我们只报告人力资本的三种效应. 注意到其他解释变量的三种效应与人力资本脉冲图只差一个常数关系, 因此对人力资本脉冲的分析, 也适用于其他变量. 图 1给出了人力资本三种效应的脉冲图. 左上子图绘制了直接效应、间接效应和总效应; 右上子图是直接效应及其95% 置信区间; 左下和右下子图是间接效应和总效应及其95% 置信区间. 从图中我们看到如下的一些结果: 首先、直接效应在整个水平期内, 都显著为正, 并呈现逐步衰减趋势; 其次, 间接效应在短期显著为正、中期不显著、长期为负并衰减缓慢; 再次, 人力资本的短期间接效应明显大于直接效应, 约是直接效应的5倍; 最后, 总效应在短期为正, 中长期不显著. 直接效应始终为正, 这符合经济学的直觉, 所以不做过多解释. 间接效应的短期为正、长期为负的一个可能解释是短期内人力资本的增加, 导致了生产效率的提高或者产业的升级, 并正向地外溢到了周边地区. 因为在计算间接效应时, 是将周边所有地区影响加总的结果, 因此间接效应超过了直接效应. 长期来看, 外溢效应减弱, 而人力资本的聚集效应会吸收周边的人力资本, 这可能解释了负面的长期影响. 这里需要强调的是, 三种效应既依赖于由经济数据给出的参数估计量, 还依赖于先验的权重矩阵, 因此三种效应形态有先验的成分, 不能只从经济学角度进行理解.

图1 人力资本的三种效应及置信区间

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在给出三种效应的脉冲函数之后, 我们这里进一步给出累积效应的结果, 这报告在表 6中.

表6 累积效应

变量	直接效应	间接效应	总效应
HCapital	1.1314*** (4.91)	-0.6465 (-0.64)	0.4849 (0.47)
Inv	0.6164*** (9.43)	-0.3522 (-0.64)	0.2642 (0.47)
Open	1.9049*** (3.83)	-1.0885 (-0.66)	0.8164 (0.46)
Urban	-7.3009*** (-3.30)	4.1720 (0.58)	-3.1289 (-0.50)

注: 括号内是

t

统计量,

*

、

* *

、

* * *

分别表示10%、5%和1%的显著性水平.

从表 6可以看到, 人力资本长期累积影响为正且统计学上显著, 间接效应的长期影响为负、总效应的长期影响为正, 但是两者都统计上不显著. 这里需要说明一点, 我们发现直接效应和间接效应衰减的比较缓慢, 这解释了为什么直接效应初期只有0.05, 但是累积效应却在1.1以上, 且相关值统计上不显著. 类似的解释也适用于间接效应. 间接效应累积值为负意味着, 本地人力资本的增加长期来看对其他地区是负的影响, 虽然这一负的影响在统计上不显著. 表 6同时报告了其他解释变量的三种累积效应, 其解释和人力资本是一样的, 这里不再赘述.

6.4 政策含义

区域经济体之间是共赢关系还是竞争关系, 对于回答一些重要问题, 例如区域经济体是竞争性博弈还是合作性博弈等, 有着重要的意义, 同时也对应着完全不同的政策含义. 以往利用空间自回归模型对相关问题的研究, 一般都发现空间的溢出效应是正的, 这意味着本区域的发展会正向地影响周边经济体的发展, 因此区域经济体之间是共赢合作关系. 本文发展的计量技术则对于这个问题有不同的观点. 通过分析人力资本的间接效应, 我们发现其对周边地区的影响短期内为正, 长期为负, 累积效应为负, 因而区域经济体之间短期内是共赢关系, 长期是竞争性关系, 总的来看还是竞争性关系. 虽然我们考察的是人力资本, 但其他解释变量的脉冲, 与人力资本的脉冲只差一个常数关系, 因此其结论可以推广为区域经济体的一般性关系, 即区域经济体短期内是共赢关系、长期是竞争关系. 其对应的政策含义是区域政府还是要着眼于自身发展, 否则会在与周边地区的竞争中处于更加不利的地位.

7 结论

本文考察了动态双重空间自回归模型, 我们提出用极大似然方法来估计这个模型, 并为极大似然估计量提供了渐近推断理论. 我们在模型内定义了直接效应、间接效应和总效应, 并为三种效应的脉冲函数给出了估计方法和推断理论. 我们将新的计量工具应用到中国区域间人力资本和人均GDP关系的研究中, 发现人力资本的间接效应短期内为正、长期为负, 总的来看是负的. 根据这一结论, 我们认为区域经济体在短期内是共赢关系、长期看是竞争关系.

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Cited in this article [3]

Footnotes

本文是李欣先博上学位论文部分章节的删减版，该文曾经在“首届中国计量经济学者论坛”上报告.

感谢李奇(Texas A&M)、廖明球、刘霞辉、田新民、王文举以及首经贸国际经管学院部分教师对初稿提出的修改建议.

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2020-04-20	2021-01-27
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2021-01-28

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Key words

Cite this article

1 引言

2 模型设定、似然函数和假设条件

3 极大似然估计的渐近性质

4 冲击响应及其渐近性质

5 有限样本性质

5.1 极大似然估计量的表现

表1 极大似然估计量的有限样本表现极大似然估计量的有限样本表现

表2 5%名义显著性水平下的实际(经验)显著性水平

5.2 冲击响应

表3 脉冲响应函数95%名义显著性水平下的实际(经验)显著性水平

6 应用研究

6.1 计量模型的设定

6.2 数据

6.3 实证结果

表4 区域收入差距的Moran's I指数

表5 人力资本对区域经济差距的估计结果

图1 人力资本的三种效应及置信区间

表6 累积效应

6.4 政策含义

7 结论

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References

Footnotes

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5 有限样本性质

5.1 极大似然估计量的表现

表1 极大似然估计量的有限样本表现极大似然估计量的有限样本表现

表2 5%名义显著性水平下的实际(经验)显著性水平

5.2 冲击响应

表3 脉冲响应函数95%名义显著性水平下的实际(经验)显著性水平

6 应用研究

6.1 计量模型的设定

6.2 数据

6.3 实证结果

表4 区域收入差距的Moran's I指数

表5 人力资本对区域经济差距的估计结果

图1 人力资本的三种效应及置信区间

表6 累积效应

6.4 政策含义

7 结论

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