中国股市波动率预测研究: 基于实时已实现EGARCH-MIDAS模型

吴鑫育; 赵安; 谢海滨; 马超群

doi:10.12012/CJoE2023-0069

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计量经济学报 ›› 2024, Vol. 4 ›› Issue (1) : 248-273. DOI: 10.12012/CJoE2023-0069

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中国股市波动率预测研究: 基于实时已实现EGARCH-MIDAS模型

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Forecasting Chinese Stock Market Volatility: A Real-Time Realized EGARCH-MIDAS Model

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摘要

本文构建了一个能够充分捕获高频数据信息、当前收益率信息以及波动率长记忆性的实时已实现EGARCH-MIDAS (RT-REGARCH-MIDAS) 模型对中国股市波动率进行建模和预测. 采用上证综合指数(SSEC) 和深证成份指数(SZSEC) 5分钟高频数据进行实证研究, 结果表明: RT-REGARCH-MIDAS模型相比其它众多竞争模型具有更好的收益率数据拟合效果, 能够更好地描述股市波动性. 利用稳健的损失函数以及模型置信集(MCS) 检验作为判断准则, 实证比较了该模型与其它竞争模型对中国股市波动率的样本外预测能力. 实证结果表明: 捕获高频数据信息、当前收益率信息和波动率长记忆性对于股市波动率预测具有重要作用; 在众多竞争模型中, RT-REGARCH-MIDAS模型具有最为优越的波动率预测能力. 进一步, 采用不同的已实现测度、不同的预测窗口、不同的MIDAS滞后阶数、不同的预测期以及样本外R²检验进行稳健性检验, 证实了该模型优越的波动率预测能力具有稳健性. 最后, 通过考察模型波动择时策略发现, 该模型能够获得相比其它模型显著更高的投资组合经济价值.

Abstract

This paper proposes the real-time Realized EGARCH-MIDAS (RT-REGARCH-MIDAS) model which adequately captures the information content of high-frequency data, the current return information and the long memory of volatility to model and forecast Chinese stock market volatility. An empirical analysis based on the 5-minute high-frequency data of the Shanghai Stock Exchange Composite Index (SSEC) and the Shenzhen Stock Exchange Component Index (SZSEC) shows that the RT-REGARCH-MIDAS model outperforms a variety of competitor models in fitting the return data and can describe the stock market volatility better. Using robust loss functions and the model confidence set (MCS) test, the paper compares the out-of-sample forecasting ability of the model and other competitor models for Chinese stock market volatility. Our empirical results show that accounting for the information content of high-frequency data, the current return information and the long memory of volatility plays an important role in forecasting stock market volatility. As a consequence, the proposed RT-REGARCH-MIDAS model performs the best in forecasting Chinese stock market volatility. Further, according to the robustness checks, the superior volatility forecasting ability of the model is robust to alternative realized measure, alternative forecast windows, alternative MIDAS lags, alternative forecasting horizons and out-of-sample R² test. Finally, a volatility timing strategy shows that the proposed model yields more significant economic value of portfolio compared to the other models.

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吴鑫育 , 赵安 , 谢海滨 , 马超群. 中国股市波动率预测研究: 基于实时已实现EGARCH-MIDAS模型. 计量经济学报, 2024, 4(1): 248-273 https://doi.org/10.12012/CJoE2023-0069

Xinyu WU , An ZHAO , Haibin XIE , Chaoqun MA. Forecasting Chinese Stock Market Volatility: A Real-Time Realized EGARCH-MIDAS Model. China Journal of Econometrics, 2024, 4(1): 248-273 https://doi.org/10.12012/CJoE2023-0069

1 引言

波动性是股市的重要特征之一. 对股市波动率进行准确的估计和预测一直以来是金融计量学领域研究的核心内容, 其对于资产组合配置、金融风险管理以及期权定价等都具有十分重要的理论价值和现实意义. 随着全球市场一体化程度的提高和经济的不断发展, 中国已经成为全球第二大经济体. 与此同时, 中国股市已经成为全球最大的股市之一, 近年来其产生的剧烈波动引起了广泛关注. 准确的建模和预测中国股市波动率对于投资者、风险管理者和监管者等都具有重要意义. 本文的研究目的是提出一种新的波动率模型来对中国股市波动率进行合理建模和预测.

目前, 最为流行的波动率模型主要有Bollerslev (1986)提出的GARCH模型和Taylor (1986)提出的随机波动率(SV)模型. 这两类模型在文献中和实际应用中均获得了广泛的关注. SV模型在拟合金融时间序列数据上比GARCH模型更为灵活, 但其波动率的动态变化由一阶自回归过程描述, 波动率是一个不可观测变量, 模型实现起来相对较为困难. 而在GARCH模型中, 波动率由可观测到的历史信息(例如资产收益率)驱动, 具有结构简单、直观和易于实现等优点.

随着信息技术的快速发展, 日内高频数据的获得变得越来越容易. 采用日内高频数据构建已实现测度(realized measure)对波动率进行估计成为金融计量学研究的热点问题. 已实现测度的优点是构造简单且充分利用了交易日内的信息, 其相比日度收益率数据包含更多的关于当前波动率水平的信息. 但是已实现测度本质还是反映历史信息. 已有研究表明, 仅利用历史信息来建模和预测波动率, 而忽略当前的收益率信息, 并不能适应金融市场的快速变化(Politis, 2007; Breitung and Hafner, 2016). 引入随机新息(实时信息)的SV模型由于属于参数驱动模型, 其参数估计和统计推断相比于GARCH模型更为复杂. 鉴于此, Smetanina (2017)同时结合GARCH和SV模型的优点, 引入当前收益率信息, 提出实时GARCH (RT-GARCH)模型来对波动率进行建模和预测.

相较于传统的单成分波动率模型, 将波动率乘性分解为一个短期成分和一个长期成分的双成分波动率模型在刻画波动率的长记忆性方面具有明显优势(Maheu, 2005; Ding, 2016). 近年来最为典型的是Engle et al. (2013)提出的基于乘性成分分解的GARCH-MIDAS模型. 该模型由于其优越的实证表现受到了学者们的广泛关注.

在现有关于波动率建模和预测的研究中, 大多数学者仅从考虑日内高频数据信息、当前收益率信息或波动率长记忆性的单一视角出发, 鲜有学者同时考虑日内高频数据信息、当前收益率信息和波动率长记忆性的综合影响. 鉴于此, 本文试图拓展已有研究, 同时引入高频数据信息、当前收益率信息和波动率长记忆性, 提出基于乘性成分分解的实时已实现EGARCH-MIDAS (RT-REGARCH-MIDAS)模型, 基于多视角融合来对中国股市波动率进行建模和预测.

2 文献综述

越来越多的研究表明, 充分考虑日内高频数据信息对波动率建模和预测至关重要(龚旭等, 2020; 苑慧玲等, 2020; 鲁万波和亢晶浩, 2022; 刘小军等, 2022; 周辰月和崔文昊, 2023; Hansen and Lunde, 2005; Dobrev and Szerszen, 2010; Christoffersen et al., 2014). 特别地, Hansen et al. (2012)在GARCH模型框架下, 提出对收益率和已实现测度联合建模的已实现GARCH (RGARCH)模型, 将日内与日间信息完美结合起来对波动率建模. RGARCH模型结构简单、易于实现, 灵活的二次型杠杆函数的引入使得模型能够很好地描述波动率动态性(非对称性), 度量方程的引入使得模型能够自动修正由于非交易时间和微观结构噪声导致的已实现测度的偏差, 日内高频信息的引入使得模型能够对股市波动率的急剧变化进行快速反应. 随后, 为了更好地捕获杠杆效应, Hansen and Huang (2016)在RGARCH模型的基础上进一步提出了已实现EGARCH (REGARCH)模型. 近年来, 众多学者实证考察了R(E)GARCH模型在波动率预测、市场风险度量以及期权定价中的表现, 例如王天一和黄卓(2015), 黄友珀等(2015), 王天一等(2018), 于孝建和王秀花(2018), 蒋伟和顾研(2019), 吴鑫育和侯信盟(2020), 白娟娟和师荣蓉(2021), 蔡光辉等(2021), 高雷阜和李伟梅(2022), 郭宝才和项琳(2022), 邢艳春和廖晗(2023), Huang et al. (2017, 2020), Banulescu-Radu et al. (2018), Hansen et al. (2021).

最近, Smetanina (2017)在传统GARCH模型中引入当前收益率信息, 提出RT-GARCH模型对波动率进行建模. 随后, Ding (2023)拓展了RT-GARCH模型, 提出能够捕获当前收益率信息以及波动率的波动率的随机异方差自回归波动率(stochastic heteroskedastic autoregressive volatility, SHARV)模型. 实证结果表明, 与传统GARCH模型相比, 该模型具有更好的样本内拟合、更有效的参数估计以及更优越的样本外波动率和VaR预测表现.

传统GARCH模型属于单成分波动率模型, 对于刻画波动率的长记忆性存在不足. 为了捕获波动率长记忆性, 一些学者通过将条件方差分解为短期成分和长期成分提出了双成分波动率模型(Ding and Granger, 1996; Engle and Lee, 1999). 最近, Engle et al. (2013)提出了基于乘性成分分解的GARCH-MIDAS模型. 该模型在GARCH框架下引入Ghysels et al. (2004, 2007)提出的混频数据抽样(mixed data sampling, MIDAS)结构, 将条件方差乘性分解为一个短期成分和一个长期成分. GARCH-MIDAS模型可以将具有不同频率的变量(高频日度收益率与低频月度或季度宏观经济变量)结合起来对波动率进行建模, 具有较大的建模灵活性. Wang and Ghysels (2015), Conrad and Kleen (2020)证明GARCH-MIDAS模型能够有效捕捉到波动率的高持续性、结构突变和非平稳性等复杂动态特征. GARCH-MIDAS模型一经提出, 在金融计量学文献中获得了广泛关注, 例如郑挺国和尚玉皇(2014), 雷立坤等(2018), 夏婷和闻岳春(2018), 张一锋等(2020), 梁超等(2022), 柏建成等(2022), Asgharian et al. (2013), Conrad and Loch (2015), Wang and Ghysels (2015), Dorion (2016), Pan et al. (2017), Conrad and Kleen (2020), Wang et al. (2022). 但值得指出的是, GARCH-MIDAS模型仅利用了股市日度收益率(收盘价)信息对波动率建模, 忽略了股市日内价格变动的信息. 当处在金融市场高波动时期, 这类模型对于波动率的急剧变化往往无法及时反应. 因此, Borup and Jakobsen (2019)在GARCH-MIDAS模型的基础上, 借鉴REGARCH模型的建模思路, 提出了REGARCH-MIDAS模型. 该模型进一步引入了已实现测度, 充分利用了交易日内的高频数据信息, 相比GARCH-MIDAS模型具有更为优越的波动率预测表现.

基于以上分析, 本文同时引入高频数据信息和当前收益率信息, 提出基于乘性成分分解的RT-REGARCH-MIDAS模型. 为了验证该模型的合理性与优越性, 选取上证综合指数(SSEC)和深证成份指数(SZSEC) 5分钟高频数据进行实证分析, 比较该模型与其它众多竞争模型(包括GARCH模型、EGARCH模型、GJR-GARCH模型、REGARCH模型、REGARCH-MIDAS模型和RT-GARCH模型)的收益率数据拟合效果. 进一步, 运用稳健的损失函数以及模型置信集(model confidence set, MCS)检验方法, 实证比较该模型与其它竞争模型对中国股市波动率的样本外预测能力. 通过采用不同的已实现测度、不同的预测窗口、不同的MIDAS滞后阶数、不同的预测期以及样本外R²检验进行稳健性检验, 分析该模型波动率预测能力的稳健性. 最后, 通过检验波动择时策略, 考察该模型优越的波动率预测结果的经济价值.

3 模型与方法

3.1 RT-REGARCH-MIDAS模型

设资产(对数)收益率定义为

r_{t} = \log (P_{t}) - \log (P_{t - 1})

, 其中

P_{t}

是第

t

日的资产收盘价. RT-REGARCH-MIDAS模型假设

r_{t}

服从如下动态过程:

\begin{array}{rcl} r_{t} = μ + σ_{t} ε_{t}, \end{array}

(1)

\begin{array}{rcl} σ_{t}^{2} = τ_{t} g_{t}, \end{array}

(2)

\begin{array}{rcl} ε_{t} | Φ_{t - 1} \sim N (0, 1), \end{array}

(3)

其中

Φ_{t - 1}

是截止第

t - 1

日的信息集,

μ = E [r_{t} | Φ_{t - 1}]

是资产收益率的条件均值¹,

σ_{t}^{2} = Var [r_{t} | Φ_{t - 1}]

是资产收益率的条件方差, 被乘性分解为两个成分: 长期成分

τ_{t}

和短期成分

g_{t}

. 本文假设短期成分

g_{t}

服从如下过程:

\begin{array}{rcl} \log (g_{t}) = β \log (g_{t - 1}) + ν (ε_{t - 1}) + γ (\log (ε_{t}^{2}) - \log (2) - ψ (1 / 2)) + α u_{t - 1}, \end{array}

(4)

\begin{array}{rcl} \log (x_{t}) = ξ + ϕ \log (σ_{t}^{2}) + δ (ε_{t}) + u_{t}, \end{array}

(5)

\begin{array}{rcl} u_{t} | Φ_{t - 1} \sim N (0, σ_{u}^{2}), \end{array}

(6)

¹我们可以将条件均值建模为一个更复杂的动态结构, 例如自回归模型. 但是对于股市日度收益率数据而言, 假设一个常数的条件均值通常是足够的.

其中

x_{t}

是第

t

日的已实现测度(例如已实现波动率),

ψ (\cdot)

是digamma函数,

γ

描述当前收益率信息对短期成分的影响,

ν (ε_{t})

和

δ (ε_{t})

是两个二次型杠杆函数, 用于捕获波动率非对称性, 可以写为:

\begin{array}{rcl} ν (ε_{t}) = ν_{1} ε_{t} + ν_{2} (ε_{t}^{2} - 1), \end{array}

(7)

\begin{array}{rcl} δ (ε_{t}) = δ_{1} ε_{t} + δ_{2} (ε_{t}^{2} - 1) . \end{array}

(8)

上述杠杆设定具有灵活的形式, 满足

E [ν (ε_{t})] = E [δ (ε_{t})] = 0

. 在平稳性条件

(| β | < 1)

下,

\log (g_{t})

的无条件均值为

E [\log (g_{t})] = 0

注意到, 式(4)中引入了已实现测度的新息项

α u_{t - 1}

, 系数

α

反映已实现测度包含关于未来波动率信息的情形. 式(5)将事后已实现测度与事前波动率联系起来,

u_{t - 1}

是测量误差. 考虑到实际金融市场受到微观结构噪声和非交易时间的影响, 已实现测度并非真实波动率的完美测度, 为此式(5)中引入了偏差修正系数:

ξ

(比例修正系数)和

ϕ

(指数修正系数).

值得指出的是, 式(4)可以等价地写为:

\begin{array}{rcl} \log (g_{t}) & = & \frac{β}{1 + γ} \log (g_{t - 1}) + \\ \frac{1}{1 + γ} (ν (ε_{t - 1}) + γ (\log {(r_{t} - μ)}^{2} - \log (τ_{t}) - \log (2) - ψ (1 / 2)) + α u_{t - 1}) . \end{array}

(9)

由上式可以看出, 短期成分

g_{t}

由当前收益率信息

r_{t}

驱动, 并且可以基于

g_{t - 1}

和

τ_{t}

更新.

对于长期成分

τ_{t}

, 本文采用灵活的MIDAS回归方法进行建模. 长期成分

τ_{t}

可以表示为:

\begin{array}{rcl} \log (τ_{t}) = m + θ \sum_{k = 1}^{K} φ_{k} (ω_{1}, ω_{2}) y_{t - 1, k}^{(N)}, \end{array}

(10)

其中

y_{t, k}^{(N)} = (1 / N) \sum_{i = 1}^{N} \log (x_{t - N (k - 1) - i})

是对数已实现测度的

N

天均值. 本文与Borup and Jakobsen (2019)一致, 选取

N = 22

, 即选取月度均值.

φ_{k} (ω_{1}, ω_{2}) \geq 0

是权重函数, 满足

\sum_{k = 1}^{K} φ_{k} (ω_{1}, ω_{2}) = 1

K

是最大MIDAS滞后阶数. 文献中通常选择加权方式为灵活的Beta多项式函数(Ghysels et al., 2007), 即设定:

\begin{array}{rcl} φ_{k} (ω_{1}, ω_{2}) = \frac{(k / K)^{ω_{1} - 1} (1 - k / K)^{ω_{2} - 1}}{\sum_{j = 1}^{K} (j / K)^{ω_{1} - 1} (1 - j / K)^{ω_{2} - 1}} . \end{array}

(11)

根据Engle et al. (2013), Asgharian et al. (2016)的研究, 本文设定

ω_{1} = 1

ω_{2} > 1

. 这可以保证权重函数是单调递减的, 即越近的观测值对当期的影响越大, 被赋予更大的权重. 由此, 式(11)可以改写为:

\begin{array}{rcl} φ_{k} (ω) = \frac{(1 - k / K)^{ω - 1}}{\sum_{j = 1}^{K} (1 - j / K)^{ω - 1}}, \end{array}

(12)

其中

ω

相应于式(11)中的

ω_{2}

, 它决定了权重函数的衰减速度.

在上述RT-REGARCH-MIDAS模型中, 式(1)、(4)、(5)和(10)分别称为收益方程、短期方程、度量方程和长期方程. 该模型能够充分捕获高频数据信息、当前收益率信息以及波动率长记忆性. 值得指出的是, 该模型包含了REGARCH-MIDAS模型和REGARCH模型作为特殊形式, 具有较强的一般性. 事实上, 当

γ = 0

时, 该模型退化为REGARCH-MIDAS模型; 进一步, 约束

θ = 0

(长期成分为常数), REGARCH-MIDAS模型退化为REGARCH模型. 此外, 根据式(2)和(4), RT-REGARCH-MIDAS模型可以重新表述为一个实时时变系数自回归波动率模型:

\begin{array}{rcl} \log (σ_{t}^{2}) = ω_{t} + β \log (σ_{t - 1}^{2}) + υ_{t}, \end{array}

(13)

其中系数

ω_{t} = (1 - β) \log (τ_{t})

是时变的, 这允许模型可以自动及时适应当前的市场环境, 捕获更为复杂、丰富的波动率动态特征, 例如波动率结构性突变. 大量文献证实了波动率结构性突变会导致对波动率持续性的高估, 因而对波动率长记忆性具有重要的解释效力(Diebold, 1986; Lamoureux and Lastrapes, 1990; 李木易和方颖, 2020).

υ_{t} = ν (ε_{t - 1}) + γ (\log (ε_{t}^{2}) - \log (2) - ψ (1 / 2)) + α u_{t - 1}

是波动率更新项, 包含了当前收益率和已实现测度的新息项.

3.2 极大似然估计

RT-REGARCH-MIDAS模型可以采用极大似然方法进行估计. 该模型的对数似然函数可以写为:

\begin{array}{rcl} ℓ (r, x; Θ) & = & \sum_{t = 1}^{T} \log p (r_{t}, x_{t} | Φ_{t - 1}) \\ = & \underset{ℓ (r; Θ)}{\underset{⏟}{\sum_{t = 1}^{T} \log p (r_{t} | Φ_{t - 1})}} + \underset{ℓ (x | r; Θ)}{\underset{⏟}{\sum_{t = 1}^{T} \log p (x_{t} | r_{t}, Φ_{t - 1})}}, \end{array}

(14)

其中

ℓ (r; Θ)

是关于收益率的局部对数似然函数,

ℓ (x | r; Θ)

是关于已实现测度的局部对数似然函数.

ℓ (r; Θ)

和

ℓ (x | r; Θ)

分别可以写为:

\begin{array}{rcl} ℓ (r; Θ) = - \frac{1}{2} \sum_{t = 1}^{T} [\log (2 π) - \log (d_{2, t}^{2}) + d_{1, t}^{2}], \end{array}

(15)

\begin{array}{rcl} ℓ (x | r; Θ) = - \frac{1}{2} \sum_{t = 1}^{T} [\log (2 π) + \log (σ_{u}^{2}) + u_{t}^{2} / σ_{u}^{2}], \end{array}

(16)

其中

Θ = (μ, m, θ, ω, α, β, γ, ν_{1}, ν_{2}, ξ, ϕ, σ_{u}^{2}, δ_{1}, δ_{2})^{'}

是模型参数向量,

d_{1, t}

和

d_{2, t}

分别可以写为:

\begin{array}{rcl} d_{1, t} = \frac{{(r_{t} - μ)}^{\frac{1}{1 + γ}}}{{(τ_{t} \exp (- γ (\log (2) + ψ (1 / 2)) + β \log (g_{t - 1}) + ν (ε_{t - 1}) + α u_{t - 1}))}^{\frac{1}{2 + 2 γ}}}, \end{array}

(17)

\begin{array}{rcl} d_{2, t} = \frac{1}{1 + γ} \frac{{(r_{t} - μ)}^{- \frac{γ}{1 + γ}}}{{(τ_{t} \exp (- γ (\log (2) + ψ (1 / 2)) + β \log (g_{t - 1}) + ν (ε_{t - 1}) + α u_{t - 1}))}^{\frac{1}{2 + 2 γ}}} . \end{array}

(18)

通过最大化对数似然函数

ℓ (r, x; Θ)

, 即得到模型参数的极大似然估计为:

\begin{array}{rcl} \hat{Θ} = \arg max_{Θ} ℓ (r, x; Θ) . \end{array}

(19)

3.3 波动率预测能力评价

3.3.1 损失函数

本文采用损失函数来评价RT-REGARCH-MIDAS模型的波动率预测精确性. 具体地, 采用文献中常见的两种不同的损失函数来对波动率预测误差进行衡量, 这两种损失函数分别为均方误差(MSE)和拟似然误差(QLIKE). 值得指出的是, MSE和QLIKE是两个稳健的损失函数, 它们针对不完美的(存在噪声的)波动率代理变量也能给出一致的波动率预测评价结果(Patton, 2011). 这两种损失函数分别定义为:

\begin{array}{rcl} M S E : L_{t} (σ_{t}^{2}, {\hat{σ}}_{t}^{2}) = (σ_{t}^{2} - {\hat{σ}}_{t}^{2})^{2}, \end{array}

(20)

\begin{array}{rcl} Q L I K E : L_{t} (σ_{t}^{2}, {\hat{σ}}_{t}^{2}) = \frac{σ_{t}^{2}}{{\hat{σ}}_{t}^{2}} + \log ({\hat{σ}}_{t}^{2}), \end{array}

(21)

其中

σ_{t}^{2}

是真实的波动率,

{\hat{σ}}_{t}^{2}

是预测的波动率.

3.3.2 MCS检验

为了考察模型预测结果之间的差异是否在统计上显著, 本文进一步采用Hansen et al. (2011)提出的模型置信集(model confidence set, MCS)方法检验模型预测结果的统计精度. MCS程序检验一组给定的竞争模型, 并识别出一组具有一定可信度的最优预测模型或MCS. 具体地, MCS检验过程是基于一个等价检验(equivalence test)

δ_{M}

和一个剔除规则(elimination rule)

e_{M}

来实现的. 设

M^{0}

是所有竞争模型的初始集合. 设定

M = M^{0}

, 利用等价检验

δ_{M}

检验原假设: 竞争模型具有相同的期望损失(预测能力), 表示为:

H_{0, M} : E [d_{u v, t}] = 0, \forall u, v \in M,

(22)

其中

d_{u v, t} = L_{t} (σ_{t}^{2}, {\hat{σ}}_{t}^{2} (u)) - L_{t} (σ_{t}^{2}, {\hat{σ}}_{t}^{2} (v))

是模型

u

和

v

波动率预测值的相对损失函数值. 为了对原假设

H_{0, M}

进行检验, 构建如下统计量:

T_{M} = max_{u, v \in M} | t_{u v} |, t_{u v} = \frac{{\bar{d}}_{u v}}{\sqrt{\hat{v a r} ({\bar{d}}_{u v})}},

(23)

其中

{\bar{d}}_{u v}

是模型

u

和

v

波动率预测值的相对损失函数的平均值,

\hat{v a r} ({\bar{d}}_{u v})

是采用"自举法" (bootstraping)对

v a r ({\bar{d}}_{u v})

的估计. 在显著性水平

α

下, 如果原假设

H_{0, M}

被接受, 则定义

{\hat{M}}_{1 - α}^{*} = M

, 否则使用剔除规则

e_{M} = \arg max_{m \in M} sup_{n \in M} t_{m n}

, 将拒绝原假设的模型从集合

M

中剔除. 这一过程不断重复, 一直持续到不再出现拒绝原假设的情况. 最后, 得到MCS检验下的幸存模型集(surviving objects)

{\hat{M}}_{1 - α}^{*} = M

, 即在给定的置信水平

1 - α

下的最优预测模型集合或MCS.

由于检验统计量

T_{M}

的渐近分布是非标准的, 本文采用基于

10000

次抽样的分块自举法(block-bootstraping)进行近似计算. 在MCS检验中, 设定显著性水平为

α = 10 %

².

²选取显著性水平为10%是文献中较为常见的做法, 例如Conrad and Kleen (2020).

4 实证研究

4.1 数据

本文基于RT-REGARCH-MIDAS模型实证考察高频数据信息、当前收益率信息和波动率长记忆性对中国股市波动率预测的作用. 实证研究选取的数据为上证综合指数(SSEC)和深证成份指数(SZSEC) 5分钟高频数据. SSEC和SZSEC指数数据的抽样阶段选取为2005年1月4日至2022年12月30日, 包括4374个交易日的数据. 数据来源于Wind数据库. 本文采用指数日度收盘价计算日度(对数)收益率, 并采用5分钟日内高频价格数据计算日度RV, 以此作为本文模型中的已实现测度³.

³本文所使用的数据和代码请参见科学数据银行(ScienceDB)期刊社区, DOI: 10.57760/sciencedb.j00214.00012和CSTR: 31253.11.sciencedb.j00214.00012. 若使用文中数据信息, 请注明引文和数据出处.

表 1给出了SSEC和SZSEC指数日度收益率和RV的描述性统计量. 从表 1可以看到, 两指数收益率的均值均大于零, 但在统计上不显著; 偏度均小于0, 峰度均大于3, 表明两指数收益率具有负偏、尖峰厚尾分布特征; Jarque-Bera统计量明显拒绝两指数收益率服从正态分布的假定. 两指数RV的偏度均大于0, 峰度均明显大于3, 表明其具有正偏、尖峰厚尾分布特征; Jarque-Bera统计量明显拒绝其服从正态分布的假定. 比较两指数RV和log-RV的偏度、峰度和Jarque-Bera统计量可以看出, log-RV的偏度更接近于0, 峰度更接近于3, 因此相较于RV而言, log-RV的偏度和峰度更接近于正态分布的值, Jarque-Bera统计量也明显更小, 说明log-RV的分布更接近于正态分布. Ljung-Box

Q

统计量表明, SSEC和SZSEC指数的波动率均表现出高的持续性(显著的长期记忆特征).

表1 SSEC和SZSEC指数日度收益率和RV的描述性统计量

	SSEC			SZSEC
	收益率	RV	log-RV	收益率	RV	log-RV
均值	0.0002	0.0002	$-$ 9.3737	0.0003	0.0002	$-$ 8.9776
最小值	$-$ 0.0926	0.0000	$-$ 12.0260	$-$ 0.0975	0.0000	$-$ 11.8412
最大值	0.0903	0.0039	$-$ 5.5450	0.0916	0.0053	$-$ 5.2414
标准差	0.0155	0.0003	1.0262	0.0180	0.0003	0.9506
偏度	$-$ 0.5808	6.0055	0.5530	$-$ 0.5045	5.7511	0.3732
峰度	7.9211	58.6474	3.0746	6.1537	56.7239	3.1590
Jarque-Bera	4658.4755	590517.3214	223.8753	1997.2329	549880.2496	106.0759
$Q (10)$	37.6847	10586.6970	23189.0082	33.1335	8780.2091	20829.5662
$Q (20)$	68.9416	17118.2262	40987.1194	49.4201	14130.7314	36288.0783

注:

Q (\cdot)

表示对应滞后阶数的Ljung-Box

Q

统计量.

4.2 参数估计结果

为了说明本文提出的RT-REGARCH-MIDAS模型的优越性, 本文考虑6个竞争模型, 包括GARCH模型、GJR-GARCH模型、EGARCH模型、REGARCH模型、REGARCH-MIDAS模型和RT-GARCH模型, 将其与RT-REGARCH-MIDAS模型进行实证比较分析.

为了实现包含MIDAS结构的模型, 需要确定最大MIDAS滞后阶数

K

. 本文在实证中选取

K = 22

, 即采用滞后一个月的RV来估计长期波动率. 此外, 与Banulescu-Radu et al. (2018)一致, 本文在REGARCH及其扩展模型(REGARCH-MIDAS和RT-REGARCH-MIDAS模型)中设定

ϕ = 1

, 以简化模型结构, 改进模型样本外预测表现.

运用极大似然方法得到RT-REGARCH-MIDAS模型以及6个竞争模型的参数估计结果如表 2和表 3所示. 从表中GARCH模型、GJR-GARCH模型、EGARCH模型、REGARCH模型和RT-GARCH模型的估计结果可以看到, SSEC和SZSEC指数条件方差的持续性系数:

α + β

(GARCH/RT-GARCH)、

α + β + ζ / 2

(GJR-GARCH)和

β

(EGARCH/REGARCH)的估计值均接近于1, 表明两个指数均展现非常高的波动率持续性.

表2 参数估计结果: SSEC

	GARCH	GJR-GARCH	EGARCH	REGARCH	REGARCH-MIDAS	RT-GARCH	RT-REGARCH-MIDAS
$μ$	0.0002	0.0001	0.0001	0.0003	0.0001	0.0007	2.1006 $\times 10^{- 5}$
	(0.0002)	(0.0002)	(0.0002)	(0.0002)	(0.0002)	(0.0002)	(6.2843 $\times 10^{- 6}$ )
$m$	1.1710 $\times 10^{- 6}$	1.2005 $\times 10^{- 6}$	$-$ 0.0705	$-$ 0.2756	$-$ 0.7325	$-$ 4.3509 $\times 10^{- 6}$	$-$ 2.8769
	(1.8237 $\times 10^{- 7}$ )	(1.6821 $\times 10^{- 7}$ )	(0.0009)	(0.0017)	(0.0027)	(8.2172 $\times 10^{- 7}$ )	(0.0084)
$θ$					0.8503		0.6764
					(0.0017)		(0.0025)
$ω$					12.6342		23.0512
					(0.0320)		(0.0685)
$α$	0.0675	0.0654	0.1584	0.3443	0.3551	0.0500	0.4274
	(0.0031)	(0.0048)	(0.0033)	(0.0041)	(0.0052)	(0.0087)	(0.0052)
$β$	0.9304	0.9296	0.9907	0.9684	0.7992	0.9124	0.8897
	(0.0028)	(0.0032)	(0.0004)	(0.0007)	(0.0049)	(0.0104)	(0.0045)
$γ$						9.9326 $\times 10^{- 6}$	0.0829
						(9.1063 $\times 10^{- 7}$ )	(0.0025)
$ζ$		0.0052	$-$ 0.0108
		(0.0052)	(0.0024)
$ν_{1}$				$-$ 0.0534	$-$ 0.0772		$-$ 0.0671
				(0.0024)	(0.0038)		(0.0029)
$ν_{2}$				0.0680	0.0760		0.0313
				(0.0019)	(0.0026)		(0.0016)
$ξ$				$-$ 0.6819	$-$ 0.6705		$-$ 0.1710
				(0.0051)	(0.0028)		(0.0073)
$σ_{u}^{2}$				0.2270	0.2214		0.2661
				(0.0041)	(0.0037)		(0.0046)
$δ_{1}$				$-$ 0.0876	$-$ 0.0921		$-$ 0.1032
				(0.0038)	(0.0042)		(0.0039)
$δ_{2}$				0.0891	0.0886		$-$ 0.0113
				(0.0020)	(0.0022)		(0.0020)
$ℓ (r)$	12721.5178	12721.7284	12726.0665	12805.1984	12822.2532	12811.3589	13507.8648
$ℓ (r, x)$				9842.0027	9913.7527		10195.6116

注: () 中是极大似然估计的渐近标准误差, ℓ(r) 是关于收益率的局部极大对数似然值, ℓ(r, x) 是全极大对数似然值.

表3 参数估计结果: SZSEC

	GARCH	GJR-GARCH	EGARCH	REGARCH	REGARCH-MIDAS	RT-GARCH	RT-REGARCH-MIDAS
$μ$	0.0003	0.0002	0.0002	$-$ 0.0001	$-$ 0.0001	0.0003	0.0002
	(0.0002)	(0.0002)	(0.0002)	(0.0002)	(0.0002)	(0.0002)	(8.9252 $\times 10^{- 6}$ )
$m$	2.8492 $\times 10^{- 6}$	3.1089 $\times 10^{- 6}$	$-$ 0.0950	$-$ 0.3075	$-$ 0.6753	$-$ 7.4664 $\times 10^{- 6}$	$-$ 2.9385
	(3.6780 $\times 10^{- 7}$ )	(3.9428 $\times 10^{- 7}$ )	(0.0014)	(0.0025)	(0.0081)	(1.2426 $\times 10^{- 7}$ )	(0.0093)
$θ$					0.8490		0.8905
					(0.0016)		(0.0045)
$ω$					21.3230		10.4424
					(0.0535)		(0.0360)
$α$	0.0596	0.0540	0.1405	0.3400	0.3421	0.0254	0.4150
	(0.0032)	(0.0052)	(0.0037)	(0.0041)	(0.0053)	(0.0070)	(0.0046)
$β$	0.9322	0.9294	0.9877	0.9628	0.7732	0.9549	0.8905
	(0.0033)	(0.0041)	(0.0001)	(0.0004)	(0.0051)	(0.0082)	(0.0045)
$γ$						1.2292 $\times 10^{- 5}$	0.0743
						(1.3261 $\times 10^{- 6}$ )	(0.0026)
$ζ$		0.0146	$-$ 0.0150
		(0.0062)	(0.0027)
$ν_{1}$				$-$ 0.0697	$-$ 0.0936		$-$ 0.0858
				(0.0028)	(0.0040)		(0.0033)
$ν_{2}$				0.0642	0.0736		0.0315
				(0.0019)	(0.0022)		(0.0033)
$ξ$				$-$ 0.6807	$-$ 0.6724		$-$ 0.2556
				(0.0085)	(0.0058)		(0.0060)
$σ_{u}^{2}$				0.2212	0.2134		0.2548
				(0.0041)	(0.0041)		(0.0063)
$δ_{1}$				$-$ 0.1137	$-$ 0.1121		$-$ 0.0128
				(0.0038)	(0.0045)		(0.0020)
$δ_{2}$				0.0830	0.0833		$-$ 0.0858
				(0.0119)	(0.0022)		(0.0033)
$ℓ (r)$	11846.0918	11847.6597	11853.9636	11935.4139	11946.4255	11924.3818	12530.3081
$ℓ (r, x)$				9029.6284	9118.9081		9320.1459

注: ()中是极大似然估计的渐近标准误差,

ℓ (r)

是关于收益率的局部极大对数似然值,

ℓ (r, x)

是全极大对数似然值.

在引入MIDAS结构的两个模型(REGARCH-MIDAS和RT-REGARCH-MIDAS)中, 条件方差被乘性分解为长期成分(

τ_{t}

)和短期成分(

g_{t}

). 可以看到, 这些模型短期成分的持续性系数

β

的估计值相比未引入MIDAS结构的模型的条件方差的持续性系数的估计值明显要低, 表明MIDAS结构能够捕获波动率长记忆性. 在REGARCH-MIDAS模型和RT-REGARCH-MIDAS模型的长期成分中,

θ

系数的估计值均显著为正, 表明RV对长期波动率具有正向影响, 即RV水平增加, 预期长期波动率会上升. 此外,

ω

的估计值大于1, 说明RV对长期波动率的影响随着滞后时间的增加呈现递减趋势. 图 1和图 2分别给出SSEC指数和SZSEC指数基于REGARCH-MIDAS模型和RT-REGARCH-MIDAS模型得到的条件方差及其长期成分的时间序列图. 从图 1和图 2可以看到, 两个模型的条件方差的长期成分都能够较好地捕捉条件方差的长期趋势.

图1 SSEC指数条件方差及其长期成分的时间序列图

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图2 SZSEC指数条件方差及其长期成分的时间序列图

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在引入MIDAS结构的两个模型(REGARCH-MIDAS和RT-REGARCH-MIDAS)中, 条件方差被乘性分解为长期成分(

τ_{t}

)和短期成分(

g_{t}

). 可以看到, 这些模型短期成分的持续性系数

β

θ

系数的估计值均显著为正, 表明RV对长期波动率具有正向影响, 即RV水平增加, 预期长期波动率会上升. 此外,

ω

REGARCH模型及其拓展模型引入灵活的二次型杠杆函数能够较为充分地捕获中国股市的杠杆效应. 事实上, 在这些模型中, 杠杆系数

ν_{1}

、

ν_{2}

、

δ_{1}

和

δ_{2}

的估计值在统计上都是显著的, 且

ν_{1}

和

δ_{1}

估计值均小于零, 表明中国股市存在显著的杠杆效应. REGARCH模型及其两个拓展模型的度量方程中RV偏差修正系数

ξ

的估计值显著小于零, 说明市场的非交易时间导致RV低估了真实的日度波动率.

最后注意到, 在引入了已实现测度的REGARCH模型、REGARCH-MIDAS模型和RT-REGARCH-MIDAS模型中,

α

的估计值显著为正, 这表明已实现测度包含关于未来波动率的重要信息; 在引入了当前收益率信息的RT-GARCH模型和RT-REGARCH-MIDAS模型中,

γ

的估计值显著为正, 这表明当前收益率信息对波动率建模具有重要影响.

比较各模型关于收益率的局部对数似然

ℓ (r)

值可以看到, REGARCH模型及其拓展模型相比GARCH模型、GJR-GARCH模型和EGARCH模型都具有明显更高的

ℓ (r)

值, 表明引入高频数据信息能够显著改进模型对收益率数据的拟合效果; RT-GARCH模型相比GARCH模型、GJR-GARCH模型和EGARCH模型都具有明显更高的

ℓ (r)

值, 表明引入当前收益率信息能够显著改进模型对收益率数据的拟合效果. 总之, 同时引入日内高频数据信息和当前收益率信息的RT-REGARCH-MIDAS模型具有最优的数据拟合效果.

4.3 样本外预测表现

与样本内表现相比, 模型样本外预测表现对于市场参与者来说具有更为重要的意义. 本文采用滚动时间窗方法对波动率进行预测. 将数据样本总体分为两部分: "估计样本"和"预测样本", 其中估计样本包含前3500个交易日的数据(收益率和RV), 预测样本包含最后

873

个交易日的数据(即预测窗口为873天).

由于真实的波动率是不可观测的, 在评价和比较波动率预测模型时需要借助真实波动率的"代理值" (proxy). Andersen et al. (2001)提出已实现波动率(realized volatility, RV)作为真实波动率的代理:

\begin{array}{rcl} {R V}_{t} = \sum_{j = 1}^{M} r_{t, j}^{2}, \end{array}

(24)

其中

r_{t, j}

是第

t

日的第

j

个日内收益率,

M

是日内收益率数目, 取决于抽样频率. Andersen et al. (2001)研究表明, 当不存在市场微观结构噪声且资产可连续交易时, 随着抽样频率的增加(

J \to \infty

), RV收敛于真实的积分波动率(integrated volatility, IV), 也即RV是IV的一致估计量. 然而, 现实市场由于微观结构噪声的存在, 当抽样频率过高, 会导致RV较为严重的偏差, 而过低的抽样频率则会损失数据信息, 导致估计方差的增加. 权衡市场微观结构噪声(偏差)与信息损失(方差), 本文与Andersen et al. (2001)中的做法一致, 采用5分钟高频数据来计算RV.

采用RV作为真实波动率代理的另一个问题就是非交易时间. 如果仅仅采用开盘期间的日内收益率来计算RV, 可能会低估真实的波动率. 为了克服这个问题, 根据Hansen and Lunde (2005)的研究, 本文采用如下调整的RV作为真实波动率的代理:

\begin{array}{rcl} {R V}_{t}^{s c a l e} = c {R V}_{t}, c = \frac{\sum_{t = 1}^{T} (r_{t} - \bar{r})^{2}}{\sum_{t = 1}^{T} {R V}_{t}}, \end{array}

(25)

其中

\bar{r} = \sum_{t = 1}^{T} r_{t} / T

是资产收益率的样本均值.

4.3.1 波动率预测结果

图 3和图 4分别给出了两个指数基于REGARCH模型、REGARCH-MIDAS模型、RT-GARCH模型和RT-REGARCH-MIDAS模型的波动率预测结果⁴. 从图 3和图 4可以看到, 这四个模型都能够较好地预测我国股市波动率, 表现出较好的预测精确性. 表 4给出了基于两个损失函数对各模型对于SSEC指数和SZSEC指数波动率预测的评价结果. 从表 4可以看到, 引入日内高频数据信息的REGARCH模型显著改进了GARCH模型、GJR-GARCH模型和EGARCH模型的波动率预测能力, 说明日内高频数据信息对于波动率预测具有重要作用. RT-GARCH模型相比于GARCH模型、GJR-GARCH模型和EGARCH模型具有更为优越的波动率预测表现, 说明引入当前收益率信息能够改善波动率预测精确性. 引入MIDAS结构的REGARCH-MIDAS模型和RT-REGARCH-MIDAS模型波动率预测效果要优于相应的原始单成分REGARCH模型和RT-GARCH模型, 说明捕获波动率长记忆性对于波动率预测具有重要作用. 总体上, 充分捕获了日内高频信息、当前收益率信息和波动率长记忆性的RT-REGARCH-MIDAS模型获得最低的损失值, 具有最为优越的波动率预测能力.

图3 SSEC指数波动率预测结果

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图4 SZSEC指数波动率预测结果

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⁴其它模型的波动率预测结果如有需要可向作者索取.

表4 波动率预测评价结果

	SSEC		SZSEC
	MSE	QLIKE	MSE	QLIKE
GARCH	1.0852 $\times 10^{- 8}$	$-$ 8.2994	2.8992 $\times 10^{- 8}$	$-$ 7.7115
GJR-GARCH	1.0681 $\times 10^{- 8}$	$-$ 8.2995	2.9228 $\times 10^{- 8}$	$-$ 7.7118
EGARCH	9.9715 $\times 10^{- 9}$	$-$ 8.2992	2.8881 $\times 10^{- 8}$	$-$ 7.7063
REGARCH	7.8829 $\times 10^{- 9}$	$-$ 8.3777	2.1432 $\times 10^{- 8}$	$-$ 7.7852
REGARCH-MIDAS	6.8990 $\times 10^{- 9}$	$-$ 8.3840	1.9718 $\times 10^{- 8}$	$-$ 7.7886
RT-GARCH	8.7940 $\times 10^{- 9}$	$-$ 8.3316	2.5157 $\times 10^{- 8}$	$-$ 7.7544
RT-REGARCH-MIDAS	6.5041 $\times 10^{- 9}$	$-$ 8.3893	1.9315 $\times 10^{- 8}$	$-$ 7.7889

注: 表中加粗的数字表示最低损失值. MSE是均方误差, QLIKE是拟似然误差.

进一步, 表 5给出了MCS检验结果. 从表 5中可以看到, RT-REGARCH-MIDAS模型在所有情形下均被包含在MCS中. 特别值得指出的是, 该模型在所有情形下均获得了最高的MCS检验

p

值

(p = 1)

, 充分表明了该模型在中国股市波动率预测方面显著优于其它模型.

表5 MCS检验结果

	SSEC		SZSEC
	MSE	QLIKE	MSE	QLIKE
GARCH	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000
GJR-GARCH	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000
EGARCH	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000
REGARCH	0.0207	0.0167	0.1303	0.2529
REGARCH-MIDAS	0.0479	0.2410	0.6024	0.9588
RT-GARCH	0.0000	0.0000	0.0025	0.0000
RT-REGARCH-MIDAS	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000

注: 表中数字是MCS检验p值. p值大于0.1 (加粗的数字) 表示模型包含在MCS中, 即预测能力较好的模型. MSE是均方误差, QLIKE是拟似然误差.

4.3.2 稳健性检验

为了说明本文提出的RT-REGARCH-MIDAS模型波动率预测能力的稳健性, 本文考虑不同的已实现测度、不同的预测窗口、不同的MIDAS滞后阶数和不同的预测期下模型的预测表现. 首先, 本文在引入了已实现测度的模型(REGARCH模型、REGARCH-MIDAS模型和RT-REGARCH-MIDAS模型)中, 选取另外一种已实现测度, 即已实现极差波动率(realized range volatility, RRV)⁵, 对模型预测能力进行检验, 波动率预测评价结果如表 6所示. 另外, 本文考虑预测窗口为120天、240天和480天(即半年、一年和两年)下模型的预测表现, 波动率预测评价结果如表 7所示. 进一步, 本文考虑MIDAS滞后阶数为

K = 60

和120 (即季度RV和半年度RV)下模型的预测表现, 波动率预测评价结果如表 8所示. 最后, 本文考虑预测期为5天和10天(即一周和两周)模型的预测表现, 波动率预测评价结果如表 9所示.

⁵RRV定义为:

\begin{array}{rcl} {R R V}_{t} = \frac{1}{4 \log (2)} \sum_{j = 1}^{M} (\log (H_{t, j}) - \log (L_{t, j}))^{2}, \end{array}

其中

H_{t, j}

和

L_{t, j}

分别是第

t

日的第

j

个区间上的最高价和最低价. Christensen and Podolskij (2007)研究表明, 理论上RRV的精度是RV的5倍. 本文采用5分钟高频数据来计算RRV.

表6 波动率预测评价结果: 不同已实现测度(RRV)

	SSEC		SZSEC
	MSE	QLIKE	MSE	QLIKE
GARCH	1.0852 $\times 10^{- 8}$	-8.2994	2.8992 $\times 10^{- 8}$	$-$ 7.7115
GJR-GARCH	1.0681 $\times 10^{- 8}$	$-$ 8.2995	2.9228 $\times 10^{- 8}$	$-$ 7.7118
EGARCH	9.9715 $\times 10^{- 9}$	$-$ 8.2992	2.8881 $\times 10^{- 8}$	$-$ 7.7063
REGARCH	9.1853 $\times 10^{- 9}$	$-$ 8.3369	2.5259 $\times 10^{- 8}$	$-$ 7.7517
REGARCH-MIDAS	7.9333 $\times 10^{- 9}$	$-$ 8.3431	2.2914 $\times 10^{- 8}$	$-$ 7.7530
RT-GARCH	8.7940 $\times 10^{- 9}$	$-$ 8.3316	2.5157 $\times 10^{- 8}$	$-$ 7.7544
RT-REGARCH-MIDAS	7.0140 $\times 10^{- 9}$	$-$ 8.3703	2.1275 $\times 10^{- 8}$	$-$ 7.7725

注: MSE是均方误差, QLIKE是拟似然误差. MCS检验p值大于0.1 (加粗的数字)表示模型包含在MCS中, 即预测能力较好的模型.

表7 波动率预测评价结果: 不同预测窗口

	SSEC		SZSEC
	MSE	QLIKE	MSE	QLIKE
预测窗口: 120天
GARCH	4.2739 $\times 10^{- 9}$	$-$ 8.3390	1.0924 $\times 10^{- 8}$	$-$ 7.7865
GJR-GARCH	4.2473 $\times 10^{- 9}$	$-$ 8.3401	1.0668 $\times 10^{- 8}$	$-$ 7.7902
EGARCH	4.3321 $\times 10^{- 9}$	$-$ 8.3412	1.1356 $\times 10^{- 8}$	$-$ 7.7802
REGARCH	3.6882 $\times 10^{- 9}$	$-$ 8.3871	9.6648 $\times 10^{- 9}$	$-$ 7.8294
REGARCH-MIDAS	3.2960 $\times 10^{- 9}$	$-$ 8.3967	8.6530 $\times 10^{- 9}$	$-$ 7.8356
RT-GARCH	4.1521 $\times 10^{- 9}$	$-$ 8.3481	9.7807 $\times 10^{- 9}$	$-$ 7.8107
RT-REGARCH-MIDAS	3.0339 $\times 10^{- 9}$	$-$ 8.4142	7.0412 $\times 10^{- 9}$	$-$ 7.8598
预测窗口: 240天
GARCH	1.2373 $\times 10^{- 8}$	$-$ 8.1306	2.6001 $\times 10^{- 8}$	$-$ 7.5939
GJR-GARCH	1.2358 $\times 10^{- 8}$	$-$ 8.1306	2.5949 $\times 10^{- 8}$	$-$ 7.5952
EGARCH	1.1713 $\times 10^{- 8}$	$-$ 8.1352	2.5513 $\times 10^{- 8}$	$-$ 7.5905
REGARCH	9.1924 $\times 10^{- 9}$	$-$ 8.1951	2.0720 $\times 10^{- 8}$	$-$ 7.6403
REGARCH-MIDAS	7.6334 $\times 10^{- 9}$	$-$ 8.2066	1.8021 $\times 10^{- 8}$	$-$ 7.6479
RT-GARCH	9.8656 $\times 10^{- 9}$	$-$ 8.1567	2.3415 $\times 10^{- 8}$	$-$ 7.6142
RT-REGARCH-MIDAS	7.4869 $\times 10^{- 9}$	$-$ 8.2073	1.6808 $\times 10^{- 8}$	$-$ 7.6606
预测窗口: 480天
GARCH	8.3299 $\times 10^{- 9}$	$-$ 8.2844	2.1939 $\times 10^{- 8}$	$-$ 7.7185
GJR-GARCH	8.3128 $\times 10^{- 9}$	$-$ 8.2845	2.2005 $\times 10^{- 8}$	$-$ 7.7185
EGARCH	8.3048 $\times 10^{- 9}$	$-$ 8.2774	2.2585 $\times 10^{- 8}$	$-$ 7.7120
REGARCH	6.7252 $\times 10^{- 9}$	$-$ 8.3285	1.8248 $\times 10^{- 8}$	$-$ 7.7687
REGARCH-MIDAS	5.6935 $\times 10^{- 9}$	$-$ 8.3363	1.5793 $\times 10^{- 8}$	$-$ 7.7762
RT-GARCH	4.1521 $\times 10^{- 9}$	$-$ 8.3481	1.9775 $\times 10^{- 8}$	$-$ 7.7449
RT-REGARCH-MIDAS	5.5053 $\times 10^{- 9}$	$-$ 8.3381	1.5423 $\times 10^{- 8}$	$-$ 7.7861

注: MSE是均方误差, QLIKE是拟似然误差. MCS检验p值大于0.1 (加粗的数字)表示模型包含在MCS中, 即预测能力较好的模型.

表8 波动率预测评价结果: 不同MIDAS滞后阶数

	SSEC		SZSEC
	MSE	QLIKE	MSE	QLIKE
MIDAS滞后阶数: $K = 60$
GARCH	1.0852 $\times 10^{- 8}$	$-$ 8.2994	2.8992 $\times 10^{- 8}$	$-$ 7.7115
GJR-GARCH	1.0681 $\times 10^{- 8}$	$-$ 8.2995	2.9228 $\times 10^{- 8}$	$-$ 7.7118
EGARCH	9.9715 $\times 10^{- 9}$	$-$ 8.2992	2.8881 $\times 10^{- 8}$	$-$ 7.7063
REGARCH	7.8829 $\times 10^{- 9}$	$-$ 8.3777	2.1432 $\times 10^{- 8}$	$-$ 7.7852
REGARCH-MIDAS	6.8983 $\times 10^{- 9}$	$-$ 8.3840	1.9718 $\times 10^{- 8}$	$-$ 7.7886
RT-GARCH	8.7940 $\times 10^{- 9}$	$-$ 8.3316	2.5157 $\times 10^{- 8}$	$-$ 7.7544
RT-REGARCH-MIDAS	6.6634 $\times 10^{- 9}$	$-$ 8.3851	1.9195 $\times 10^{- 8}$	$-$ 7.8001
MIDAS滞后阶数: $K = 120$
GARCH	1.0852 $\times 10^{- 8}$	$-$ 8.2994	2.8992 $\times 10^{- 8}$	$-$ 7.7115
GJR-GARCH	1.0681 $\times 10^{- 8}$	$-$ 8.2995	2.9228 $\times 10^{- 8}$	$-$ 7.7118
EGARCH	9.9715 $\times 10^{- 9}$	$-$ 8.2992	2.8881 $\times 10^{- 8}$	$-$ 7.7063
REGARCH	7.8829 $\times 10^{- 9}$	$-$ 8.3777	2.1432 $\times 10^{- 8}$	$-$ 7.7852
REGARCH-MIDAS	6.9109 $\times 10^{- 9}$	$-$ 8.3843	1.9718 $\times 10^{- 8}$	$-$ 7.7886
RT-GARCH	8.7940 $\times 10^{- 9}$	$-$ 8.3316	2.5157 $\times 10^{- 8}$	$-$ 7.7544
RT-REGARCH-MIDAS	6.7212 $\times 10^{- 9}$	$-$ 8.3851	1.9363 $\times 10^{- 8}$	$-$ 7.7890

注: MSE是均方误差, QLIKE是拟似然误差. MCS检验p值大于0.1 (加粗的数字) 表示模型包含在MCS中, 即预测能力较好的模型.

表9 波动率预测评价结果: 不同预测期

	SSEC		SZSEC
	MSE	QLIKE	MSE	QLIKE
预测期: 5天
GARCH	1.3302 $\times 10^{- 8}$	$-$ 8.2463	3.4610 $\times 10^{- 8}$	$-$ 7.6695
GJR-GARCH	1.3071 $\times 10^{- 8}$	$-$ 8.2468	3.5069 $\times 10^{- 8}$	$-$ 7.6689
EGARCH	1.2508 $\times 10^{- 8}$	$-$ 8.2449	3.5500 $\times 10^{- 8}$	$-$ 7.6603
REGARCH	1.2282 $\times 10^{- 8}$	$-$ 8.2742	3.3653 $\times 10^{- 8}$	$-$ 7.6972
REGARCH-MIDAS	1.0991 $\times 10^{- 8}$	$-$ 8.2690	3.3406 $\times 10^{- 8}$	$-$ 7.6802
RT-GARCH	1.1129 $\times 10^{- 8}$	$-$ 8.2624	3.1903 $\times 10^{- 8}$	$-$ 7.6859
RT-REGARCH-MIDAS	1.0047 $\times 10^{- 8}$	$-$ 8.2859	2.8652 $\times 10^{- 8}$	$-$ 7.7081
预测期: 10天
GARCH	1.4954 $\times 10^{- 8}$	$-$ 8.2119	3.7923 $\times 10^{- 8}$	$-$ 7.6396
GJR-GARCH	1.4745 $\times 10^{- 8}$	$-$ 8.2124	3.8348 $\times 10^{- 8}$	$-$ 7.6389
EGARCH	1.4687 $\times 10^{- 8}$	$-$ 8.2038	4.0105 $\times 10^{- 8}$	$-$ 7.6257
REGARCH	1.4515 $\times 10^{- 8}$	$-$ 8.2251	3.7771 $\times 10^{- 8}$	$-$ 7.6542
REGARCH-MIDAS	1.3140 $\times 10^{- 8}$	$-$ 8.2109	3.9908 $\times 10^{- 8}$	$-$ 7.6280
RT-GARCH	1.2434 $\times 10^{- 8}$	$-$ 8.2218	3.3635 $\times 10^{- 8}$	$-$ 7.6511
RT-REGARCH-MIDAS	1.1855 $\times 10^{- 8}$	$-$ 8.2289	3.3554 $\times 10^{- 8}$	$-$ 7.6587

注: MSE是均方误差, QLIKE是拟似然误差. MCS检验p值大于0.1 (加粗的数字) 表示模型包含在MCS中, 即预测能力较好的模型.

从表 6~9中可以看到, 与前面表 4和表 5中得到的结果一致, RT-REGARCH-MIDAS模型获得了最低的损失函数值, 并且在所有情形下均被包含在MCS中, 说明该模型在中国股市波动率预测上显著优于其它模型.

本文还进一步采用样本外R²检验来评估模型的波动率预测能力. Campbell and Thompson (2008)提出了样本外预测R²检验, 定义为:

\begin{array}{rcl} R^{2} = 1 - \frac{\sum_{t = 1}^{T} {(σ_{t}^{2} - {\hat{σ}}_{t}^{2} (m))}^{2}}{\sum_{t = 1}^{T} {(σ_{t}^{2} - {\hat{σ}}_{t}^{2} (b m))}^{2}}, \end{array}

(26)

其中

σ_{t}^{2}

是真实的波动率,

{\hat{σ}}_{t}^{2} (m)

是模型预测的波动率,

{\hat{σ}}_{t}^{2} (b m)

是基准模型预测的波动率. 本文选取标准的GARCH模型作为基准模型. 当

R^{2} > 0

时, 说明预测模型的预测能力优于基准模型. 本文选取Clark and West (2007)提出的调整后的MSPE统计量来检验

R^{2}

在统计上的显著性. 样本外R²检验结果如表 10所示. 从表 10可以看到, RT-REGARCH-MIDAS模型的

R^{2}

均为正且在统计上显著, 而且高于其他竞争模型的

R^{2}

, 说明该模型拥有最佳的样本外波动率预测表现.

表10 波动率预测评价结果: 样本外R²检验

	SSEC			SZSEC
	R²	MSPE-adjusted	$p$ 值	R²	MSPE-adjusted	$p$ 值
GJR-GARCH	0.0157	2.0196	0.0217	$-$ 0.0081	$-$ 1.3214	0.9068
EGARCH	0.0811	1.6205	0.0526	0.0038	1.0345	0.1504
REGARCH	0.2736	5.5924	0.0000	0.2607	6.7811	0.0000
REGARCH-MIDAS	0.3642	4.7743	0.0000	0.3199	7.9552	0.0000
RT-GARCH	0.1896	4.9895	0.0000	0.1323	5.0029	0.0000
RT-REGARCH-MIDAS	0.4006	4.7548	0.0000	0.3338	5.8865	0.0000

注: 表中R²是样本外R², MSPE-adjusted是调整后的MSPE, R² > 0说明对应模型的样本外预测能力优于基准模型.

综上, 本文提出的RT-REGARCH-MIDAS模型优越的波动率预测能力具有关于不同的已实现测度、不同的预测窗口、不同的MIDAS滞后阶数、不同的预测期和样本外

R^{2}

检验的稳健性.

4.3.3 波动择时的经济价值

为了评价模型样本外预测能力的提升是否能带来经济价值, 本文基于各模型的波动率预测值构建最优资产组合, 检验其波动择时策略. 具体地, 本文基于Fleming et al. (2001, 2003)提出的方法, 通过采用均值-方差策略来考察各个模型波动率预测结果的经济价值.

考虑具有均值-方差偏好的风险厌恶型投资者, 他们考虑两种金融资产的投资, 一种是无风险资产, 另一种是风险资产(股票). 投资者使用条件均值-方差分析来对未来投资做出决策, 投资组合的效用为:

\begin{array}{rcl} U (r_{t + 1}^{p}) = E_{t} [r_{t + 1}^{p}] - \frac{A}{2} {V a r}_{t} [r_{t + 1}^{p}], \end{array}

(27)

其中

E_{t} [r_{t + 1}^{p}]

和

{V a r}_{t} [r_{t + 1}^{p}]

分别是投资组合收益率的条件均值和条件方差,

A

是投资者的风险厌恶系数. 最大化投资组合的效用

U (r_{i + 1}^{p})

得到风险资产的最优权重为:

\begin{array}{rcl} w_{t}^{*} = \frac{E_{t} [r_{t + 1}] - r_{t + 1}^{f}}{A {V a r}_{t} [r_{t + 1}]}, \end{array}

(28)

其中

E_{t} [r_{t + 1}]

和

{V a r}_{t} [r_{t + 1}]

分别是风险资产收益率和方差的预测值,

r_{t + 1}^{f}

是无风险利率. 根据Fleming et al. (2001, 2003),

E_{t} [r_{t + 1}]

基于滚动样本内均值估计得到. 显然, 在给定的期望收益率水平下, 当预期波动率水平较高, 投资者将分配更多的资金到无风险资产, 反之亦然. 考虑卖空约束以及不超过50%的杠杆率, 本文设定

0 \leq w_{i}^{*} \leq 1.5

. 投资组合的实际收益率为:

\begin{array}{rcl} r_{t + 1}^{p} = r_{t + 1}^{f} + w_{t}^{*} (r_{t + 1} - r_{t + 1}^{f}), \end{array}

(29)

其中无风险利率

r_{t + 1}^{f}

采用3个月的上海银行间同业拆借利率(SHIBOR)作为代理.

为了衡量投资组合的表现, 根据Fleming et al. (2003)的研究, 计算如下平均实际效用:

\begin{array}{rcl} \bar{U} (r_{t + 1}^{p}) = \frac{1}{I} \sum_{t = 1}^{I} (r_{t + 1}^{p} - \frac{A}{2} {(r_{t + 1}^{p} - \frac{1}{I} \sum_{t = 1}^{I} r_{t + 1}^{p})}^{2}) . \end{array}

(30)

为了量化相对于基准模型的经济效益, 计算如下投资组合的业绩表现费(performance fee):

\begin{array}{rcl} Δ = \bar{U} (r_{t + 1}^{p}) - \bar{U} (r_{t + 1}^{p, b m}), \end{array}

(31)

其中

\bar{U} (r_{t + 1}^{p, b m})

是基准模型的平均实际效用. 业绩表现费

Δ

测度投资者从基准策略转换到竞争策略所愿意支付的费用(年化基点),

Δ

越大, 表明模型的经济价值越高.

同时, 本文采用确定性等价收益(certainty equivalent return, CER)来衡量投资组合的表现. CER可以表示为:

\begin{array}{rcl} C E R = E [r_{t + 1}^{p}] - \frac{A}{2} V a r [r_{t + 1}^{p}] . \end{array}

(32)

CER越大, 说明模型的经济价值越高.

本文选取标准的GARCH模型作为基准模型, 并选取投资者的风险厌恶系数为

A = 3

、6和9, 得到不同模型下投资组合的业绩表现(年化基点费用)如表 11所示. 从表 11可以看到, 在所有模型中, RT-REGARCH-MIDAS模型的业绩表现费最高, 达到74

\sim

596个基点, REGARCH-MIDAS模型次之, 达到43

\sim

343个基点. 值得指出的是, 虽然GJR-GARCH和RT-GARCH能够改进GARCH模型的波动率预测能力, 但并不能带来经济价值的提升(业绩表现费在某些情形下为负). 此外, 从表中还可以看到, RT-REGARCH-MIDAS模型也获得了最高的CER (年化百分比值), 说明该模型的经济价值最高, REGARCH-MIDAS模型次之. 综上, 引入日内高频信息和当前收益率信息的RT-REGARCH-MIDAS模型相比其它所有模型获得了显著更高的投资组合经济价值的提升, 且这种提升对于不同的投资者风险厌恶水平(

A = 3

、6和9)具有稳健性.

表11 投资组合的业绩表现

	$A = 3$		$A = 6$		$A = 9$
	$Δ$	CER	$Δ$	CER	$Δ$	CER
SSEC
GARCH	-	0.1504	-	0.1165	-	0.1044
GJR-GARCH	1.6125	0.1509	1.0384	0.1168	0.6922	0.1046
EGARCH	21.3046	0.1575	8.0734	0.1192	5.3821	0.1062
REGARCH	21.6988	0.1576	34.4875	0.1280	22.9901	0.1120
REGARCH-MIDAS	91.4051	0.1808	65.5094	0.1383	43.6716	0.1189
RT-GARCH	$-$ 82.9584	0.1227	10.7807	0.1201	8.1875	0.1071
RT-REGARCH-MIDAS	188.0060	0.2130	111.7531	0.1537	74.5012	0.1292
SZSEC
GARCH	-	0.3544	-	0.2173	-	0.1716
GJR-GARCH	$-$ 0.0061	0.3544	$-$ 0.0028	0.2173	-0.0016	0.1716
EGARCH	52.1986	0.3718	26.0999	0.2260	17.4003	0.1774
REGARCH	160.0133	0.4078	80.0091	0.2440	53.3410	0.1894
REGARCH-MIDAS	343.6988	0.4690	171.8509	0.2746	114.5682	0.2098
RT-GARCH	52.3828	0.3719	28.1653	0.2267	18.7788	0.1778
RT-REGARCH-MIDAS	596.5541	0.5532	272.2472	0.3080	181.5024	0.2321

注: 表中加粗且带下划线的数字表示最大数值, 加粗但不带下划线的数字表示次大数值. A是风险厌恶系数,

Δ

是业绩表现费(年化基点费用), CER是确定性等价收益(年化百分比值).

5 结论与展望

本文综合考虑日内高频数据信息、当前收益率信息和波动率长记忆性, 构建了RT-REGARCH-MIDAS模型对中国股市波动率进行建模和预测. 采用SSEC指数和SZSEC指数5分钟高频数据进行实证研究, 结果表明: 中国股市波动率存在高持续性以及显著的杠杆效应; 本文提出的模型相比其它众多竞争模型(包括GARCH模型、GJR-GARCH模型、EGARCH模型、REGARCH模型、REGARCH-MIDAS模型和RT-GARCH模型)具有更好的收益率数据拟合效果, 能够更好地描述股市波动性. 运用稳健的损失函数以及MCS检验, 实证检验了本文模型与其它竞争模型对中国股市波动率的样本外预测能力, 结果表明: 在波动率模型中引入高频数据信息、当前收益率信息和波动率长记忆性对于波动率预测具有重要作用; 本文构建的模型相比其它竞争模型具有更为优越的波动率预测能力, 而且这种优越的波动率预测能力具有关于不同的已实现测度、不同的预测窗口、不同的MIDAS滞后阶数、不同的预测期以及样本外R²检验的稳健性. 进一步, 通过考察基于不同波动率模型的波动择时策略, 验证了本文提出的模型优越的波动率预测能力能够带来更高的投资组合经济价值.

本文的研究工作为中国股市波动率建模与预测提供了有益的方法借鉴, 无论对于学术研究人员还是实际从业人员都具有重要的意义. 值得指出的是, 本文研究工作还可以进一步的拓展, 例如可以考虑在现有模型基础上引入宏观经济变量, 考察宏观信息对波动率的影响. 此外, 考虑资产收益率分布的偏斜、尖峰厚尾及其时变性(时变高阶矩)特征, 对本文模型进行扩展并将其应用于市场风险度量也值得进一步深入研究. 当然, 将本文模型应用于期权定价中, 也是未来一个重要的研究方向.

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本文引用 [1]

基金

国家自然科学基金(71971001)

安徽省自然科学基金(2208085Y21)

安徽省高校杰出青年科研项目(2022AH020047)

安徽省高校学科(专业) 拔尖人才学术资助项目(gxbjZD2022019)

安徽省高校优秀科研创新团队(2022AH010045)

安徽高校协同创新项目(GXXT-2021-078)

版权

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2012

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摘要
Abstract
关键词
Key words
引用本文
1 引言
2 文献综述
3 模型与方法
3.1 RT-REGARCH-MIDAS模型
3.2 极大似然估计
3.3 波动率预测能力评价
3.3.1 损失函数
3.3.2 MCS检验
4 实证研究
4.1 数据
表1 SSEC和SZSEC指数日度收益率和RV的描述性统计量
4.2 参数估计结果
表2 参数估计结果: SSEC
表3 参数估计结果: SZSEC
图1 SSEC指数条件方差及其长期成分的时间序列图
图2 SZSEC指数条件方差及其长期成分的时间序列图
4.3 样本外预测表现
4.3.1 波动率预测结果
图3 SSEC指数波动率预测结果
图4 SZSEC指数波动率预测结果
表4 波动率预测评价结果
表5 MCS检验结果
4.3.2 稳健性检验
表6 波动率预测评价结果: 不同已实现测度(RRV)
表7 波动率预测评价结果: 不同预测窗口
表8 波动率预测评价结果: 不同MIDAS滞后阶数
表9 波动率预测评价结果: 不同预测期
表10 波动率预测评价结果: 样本外R2检验
4.3.3 波动择时的经济价值
表11 投资组合的业绩表现
5 结论与展望
参考文献
基金
版权

收稿日期	出版日期
2023-07-09	2024-01-27
发布日期
2024-01-25

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摘要

Abstract

关键词

Key words

引用本文

1 引言

2 文献综述

3 模型与方法

3.1 RT-REGARCH-MIDAS模型

3.2 极大似然估计

3.3 波动率预测能力评价

3.3.1 损失函数

3.3.2 MCS检验

4 实证研究

4.1 数据

表1 SSEC和SZSEC指数日度收益率和RV的描述性统计量

4.2 参数估计结果

表2 参数估计结果: SSEC

表3 参数估计结果: SZSEC

图1 SSEC指数条件方差及其长期成分的时间序列图

图2 SZSEC指数条件方差及其长期成分的时间序列图

4.3 样本外预测表现

4.3.1 波动率预测结果

图3 SSEC指数波动率预测结果

图4 SZSEC指数波动率预测结果

表4 波动率预测评价结果

表5 MCS检验结果

4.3.2 稳健性检验

表6 波动率预测评价结果: 不同已实现测度(RRV)

表7 波动率预测评价结果: 不同预测窗口

表8 波动率预测评价结果: 不同MIDAS滞后阶数

表9 波动率预测评价结果: 不同预测期

表10 波动率预测评价结果: 样本外R2检验

4.3.3 波动择时的经济价值

表11 投资组合的业绩表现

5 结论与展望

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参考文献

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脚注

基金

版权

表10 波动率预测评价结果: 样本外R²检验